Calcule integral-pi6^pi2(cos 2 x+sen 5 x) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida . Esse problema envolve integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar utilizar as fórmulas de antiderivadas para as funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, separamos a integral em duas partes:

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: integral cos 2x , dx. A antiderivada de cos kx é .
Então,

Passo 4

Agora, resolvemos a segunda integral: . A antiderivada de é integral sen 5x , dx.
Então,

Passo 5

Aplicamos os limites de integração para cada parte.
Para a primeira parte:
[ 12 sen 2x ]-pi6^pi2 = 12 sen (2 cdot pi2) - 12 sen (2 cdot -pi6)
= 12 sen pi - 12 sen (-pi3)
Para a segunda parte:
= 12 cdot 0 - 12 cdot (-raiz32)
= 0 + raiz34
[ -15 cos 5x ]-pi6^pi2 = -15 cos (5 cdot pi2) + 15 cos (5 cdot -pi6)
= -15 cos (5pi2) + 15 cos (-5pi6)
= -15 cdot 0 + 15 cdot cos (5pi6)

Passo 6

Somamos os resultados das duas partes:
raiz34 - raiz310 = 5raiz320 - 2raiz320 = 3raiz320

Resposta

A integral vale 3raiz320.

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