Calcule integral1^2(x^3+1x+1x^3) d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular a integral definida de no intervalo de 1 a 2. Estamos lidando com integração, que é uma parte da Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas regras de integração básicas, como a regra do poder e a integral de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em três partes para facilitar a resolução:
integral1^2 (x^3 + 1x + 1x^3) , dx = integral1^2 x^3 , dx + integral1^2 1x , dx + integral1^2 1x^3 , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Integral de integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C :
    A regra do poder nos diz que:
    integral x^3 , dx = x^44
    Aplicando para integral 1x , dx = ln|x| :
    1x^3 = x^-3
  2. Integral de integral x^-3 , dx = x^-2-2 = -12x^2 :
    Sabemos que:
  3. Integral de :
    Reescrevendo a função:
    Aplicando a regra do poder para :

Passo 4

Agora que temos as primitivas de cada termo, vamos montar a integral completa:
integral1^2 (x^3 + 1x + 1x^3) , dx = [ x^44 + ln|x| - 12x^2 ]1^2

Passo 5

Vamos avaliar essa expressão nos limites de 2 e 1.
  1. Para 2^44 + ln(2) - 12 times 2^2 = 164 + ln(2) - 18 = 4 + ln(2) - 0,125 :
    1^44 + ln(1) - 12 times 1^2 = 14 + 0 - 12 = 0,25 - 0,5 = -0,25
  2. Para :

Passo 6

Agora, fazemos a diferença entre os valores avaliados:
(4 + ln(2) - 0,125) - (-0,25) = 4 - 0,125 + ln(2) + 0,25 = 4,125 + ln(2)

Resposta

O valor da integral é:
4,125 + ln(2)

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