Calcule integral-1^0 x(2 x+1)^50 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de no intervalo de a . Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar usar a regra da substituição para integrar essa função complicada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observando u = 2x + 1 , percebemos que a derivada de é constante, o que torna uma boa escolha para substituição.
Vamos definir:

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de dudx = 2 em relação a du = 2 , dx :
dx = du2
Então,

Passo 4

Precisamos também expressar 2x = u - 1 em termos de x = u - 12 para substituir na integral. A partir de :

Passo 5

Agora, substituímos integral-1^0 x(2x + 1)^50 , dx = integralu(-1)^u(0) ( u - 12 ) u^50 ( du2 ) e u = 2(-1) + 1 = -1 na integral original:
u = 2(0) + 1 = 1
Simplificando os limites de integração:
  • Quando 14 integral-1^1 (u - 1)u^50 , du :
  • Quando :
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos expandir (u - 1)u^50 = u^51 - u^50 :
14 integral-1^1 ( u^51 - u^50 ) , du
Então, a integral agora é:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^51 , du = u^5252
integral u^50 , du = u^5151
Portanto:
14 [ u^5252 - u^5151 ]-1^1

Passo 8

Vamos calcular essa expressão nos limites de integração:
Para 1^5252 - 1^5151 = 152 - 151 :
(-1)^5252 - (-1)^5151 = 152 - ( -151 ) = 152 + 151
Para :

Passo 9

Subtraindo os valores nos limites:
( 152 - 151 ) - ( 152 + 151 ) = -251
Multiplicando pelo fator 14 times ( -251 ) = -2204 = -1102 :

Resposta

integral-1^0 x(2x + 1)^50 , dx = -1102

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