Uma equipe de jardinagem precisa aparar a grama de um campo de modo que o seu formato seja o de um losango. As dimensões do campo estabelecidas pelo proprietário são de 25 m para a diagonal maior do campo e 20 m para a diagonal menor. Sabendo que as diagonais maior e menor da área aparada crescem a uma taxa de, respectivamente, e , determine a taxa de crescimento da área aparada no exato momento em que a equipe de jardinagem finalizar o serviço.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a taxa de crescimento da área de um campo que está sendo aparado no formato de um losango. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, mais especificamente relacionados às taxas de variação. Vamos precisar entender como a área de um losango muda quando suas diagonais estão crescendo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um losango. A fórmula é:
Onde:
  • é a área,
  • é a diagonal maior,
  • é a diagonal menor.

Passo 3

Agora, como as diagonais estão crescendo com o tempo, queremos saber como a área muda quando as diagonais mudam. Para isso, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo . Usando a regra do produto, a derivada fica:
Onde:
  • é a taxa de variação da área,
  • é a taxa de variação da diagonal maior,
  • é a taxa de variação da diagonal menor.

Passo 4

Vamos substituir os valores fornecidos pelo problema na fórmula:
  • Diagonal maior m,
  • Diagonal menor m,
  • Taxa de crescimento da diagonal maior m/min,
  • Taxa de crescimento da diagonal menor m/min.
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos fazer as contas:

Resposta

A taxa de crescimento da área aparada é de 13,75 m²/min.

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