Determine os pontos de inflexão das curvas abaixos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar os pontos de inflexão da curva dada por
. Pontos de inflexão são aqueles onde a curva muda sua concavidade, ou seja, passa de côncava para convexa ou vice-versa. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, para encontrar os pontos de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada da função
. Mas antes disso, vamos achar a primeira derivada.
A primeira derivada de
em relação a
é:
Usando a regra da cadeia, a derivada de
é
. Aqui,
, então
.
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Isso vai nos ajudar a identificar onde a concavidade da curva muda.
A segunda derivada é a derivada de
:
Aqui, precisamos usar a regra do produto, pois temos um produto de duas funções:
e
.
A regra do produto diz que
.
Aplicando isso:
Simplificando:
Passo 4
Para encontrar os pontos de inflexão, procuramos os valores de
onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde
.
Então, vamos igualar
a zero:
Sabemos que
nunca é zero para nenhum valor real de
, então podemos focar na outra parte:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, vamos verificar se realmente há uma mudança de concavidade nesses pontos. Escolhemos valores de
próximos a
para testar o sinal de
:
-
Para
, por exemplo, : Concavidade para baixo. -
Para
, por exemplo, : Concavidade para cima.
O mesmo acontece para
devido à simetria da função.
Então, há uma mudança de concavidade em
.
Resposta
Os pontos de inflexão da curva
estão em:
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Calcule a integral:
. (Sugestão: Coordenadas Polares).
Calcule os limites da forma:
Reescreva a integral
como uma integral iterada equivalente, nas cinco outras ordens.
Determine os intervalos no qual as curvas dadas pelas expressões abaixo têm concavidade voltada para cima ou para baixo.