Determine os pontos de inflexão das curvas abaixos. y = e^(-x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar os pontos de inflexão da curva dada por . Pontos de inflexão são aqueles onde a curva muda sua concavidade, ou seja, passa de côncava para convexa ou vice-versa. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, para encontrar os pontos de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada da função . Mas antes disso, vamos achar a primeira derivada.
A primeira derivada de em relação a é:
Usando a regra da cadeia, a derivada de é . Aqui, , então .
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Isso vai nos ajudar a identificar onde a concavidade da curva muda.
A segunda derivada é a derivada de :
Aqui, precisamos usar a regra do produto, pois temos um produto de duas funções: e .
A regra do produto diz que .
Aplicando isso:
Simplificando:

Passo 4

Para encontrar os pontos de inflexão, procuramos os valores de onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde .
Então, vamos igualar a zero:
Sabemos que nunca é zero para nenhum valor real de , então podemos focar na outra parte:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos verificar se realmente há uma mudança de concavidade nesses pontos. Escolhemos valores de próximos a para testar o sinal de :
  • Para , por exemplo, :
    Concavidade para baixo.
  • Para , por exemplo, :
    Concavidade para cima.
O mesmo acontece para devido à simetria da função.
Então, há uma mudança de concavidade em .

Resposta

Os pontos de inflexão da curva estão em:

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