Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais, mais especificamente utilizando substituição para simplificar a expressão. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar uma substituição adequada que simplifique a integral para algo mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável. Observamos que dentro da raiz temos . Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para fazer a substituição:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 3

Note que na integral original temos . Sabemos que:
Então, podemos substituir por . Isso se alinha com a expressão para que encontramos:
Portanto:

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:
Agora, vamos calcular a integral de em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicando pelo fator que tínhamos antes:
Agora, substituímos de volta para expressar a solução em termos de :

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

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Encontre as derivadas das funções:
a) ;
Calcule
Determine que satisfaça as condições dadas.
Verifique que a função dada é uma solução da equação diferencial: