Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve cálculo de integrais, mais especificamente utilizando substituição para simplificar a expressão. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar uma substituição adequada que simplifique a integral para algo mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável. Observamos que dentro da raiz temos
. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para fazer a substituição:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 3
Note que na integral original temos
. Sabemos que:
Então, podemos substituir
por
. Isso se alinha com a expressão para
que encontramos:
Portanto:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Agora, vamos calcular a integral de
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Multiplicando pelo fator
que tínhamos antes:
Agora, substituímos
de volta para expressar a solução em termos de
:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Encontre as derivadas das funções:
a) ;
a)
Calcule
Determine
que satisfaça as condições dadas.
Verifique que a função dada é uma solução da equação diferencial: