Calcule as seguintes integrais: integral raiz1+3 cos ^2 x sin (2 x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral raiz1+3 cos ^2 x sin (2 x) , dx. Esse exercício envolve cálculo de integrais, mais especificamente utilizando substituição para simplificar a expressão. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar uma substituição adequada que simplifique a integral para algo mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável. Observamos que dentro da raiz temos 1 + 3 cos^2 x. Vamos definir:
u = 1 + 3 cos^2 x
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para fazer a substituição:
dudx = -6 cos x sin x
Isso pode ser reescrito como:
du = -6 cos x sin x , dx

Passo 3

Note que na integral original temos sin(2x) , dx. Sabemos que:
sin(2x) = 2 sin x cos x
Então, podemos substituir sin(2x) , dx por 2 sin x cos x , dx. Isso se alinha com a expressão para du que encontramos:
du = -6 cos x sin x , dx implies sin x cos x , dx = -du6
Portanto:
sin(2x) , dx = 2 sin x cos x , dx = 2 (-du6) = -du3

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, temos:
integral raizu (-du3) = -13 integral raizu , du
Agora, vamos calcular a integral de raizu em relação a u:
integral raizu , du = integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicando pelo fator -13 que tínhamos antes:
-13 cdot 23 u^3/2 + C = -29 u^3/2 + C
Agora, substituímos u de volta para expressar a solução em termos de x:
u = 1 + 3 cos^2 x implies u^3/2 = (1 + 3 cos^2 x)^3/2

Resposta

A integral integral raiz1+3 cos ^2 x sin (2 x) , dx é igual a:
-29 (1 + 3 cos^2 x)^3/2 + C
Onde C é a constante de integração.

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