Calcule a integral
utilizando coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando coordenadas cilíndricas! O enunciado pede para calcular
Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente integrais em coordenadas cilíndricas. Para resolver, vamos precisar converter os limites de integração para coordenadas cilíndricas e usar a fórmula adequada para .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Observando os limites:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .
  • Para cada , varia de a .
Isso descreve um cilindro de raio (porque ) com indo do cone até o plano .

Passo 3

Vamos converter tudo para coordenadas cilíndricas , onde:
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .
Agora, devemos determinar os limites em coordenadas cilíndricas:
  • vai de a (raio do cilindro).
  • vai de a (círculo completo).
  • vai de (cone) a (plano).
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos integrar passo a passo. Primeiro, a integral em :
Substituindo de volta:
Expandindo :

Passo 5

Agora, integramos em :
Substituindo novamente:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Usando a definição, prove que é contínua em:
b) .
Calcule a seguinte integral dupla, utilizando coordenadas polares:
Se calcule:
b) .
Escreva a integral
em coordenadas esféricas e calcule.