Calcule a integral
utilizando coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando coordenadas cilíndricas! O enunciado pede para calcular
Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente integrais em coordenadas cilíndricas. Para resolver, vamos precisar converter os limites de integração para coordenadas cilíndricas e usar a fórmula adequada para
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Observando os limites:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a . - Para cada
, varia de a .
Isso descreve um cilindro de raio
(porque
) com
indo do cone
até o plano
.
Passo 3
Vamos converter tudo para coordenadas cilíndricas
, onde:
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Agora, devemos determinar os limites em coordenadas cilíndricas:
-
vai de a (raio do cilindro). -
vai de a (círculo completo). -
vai de (cone) a (plano).
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, a integral em
:
Substituindo de volta:
Expandindo
:
Passo 5
Agora, integramos em
:
Substituindo novamente:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Usando a definição, prove que
é contínua em:
b) .
b)
Calcule a seguinte integral dupla, utilizando coordenadas polares:
Se
calcule:
b) .
b)
Escreva a integral
em coordenadas esféricas e calcule.