Calcule a integral
integral-2^2 integral-raiz4-y^2^raiz4-y^2 integralraizx^2+y^2^2 d V
utilizando coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando coordenadas cilíndricas! O enunciado pede para calcular
integral-2^2 integral-raiz4-y^2^raiz4-y^2 integralraizx^2+y^2^2 dV
Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente integrais em coordenadas cilíndricas. Para resolver, vamos precisar converter os limites de integração para coordenadas cilíndricas e usar a fórmula adequada para .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Observando os limites:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .
  • Para cada , varia de a .
Isso descreve um cilindro de raio (porque ) com indo do cone até o plano .

Passo 3

Vamos converter tudo para coordenadas cilíndricas integral0^2pi integral0^2 integralr^2 r , dz , dr , dtheta , onde:
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .
Agora, devemos determinar os limites em coordenadas cilíndricas:
  • vai de a (raio do cilindro).
  • vai de a (círculo completo).
  • vai de (cone) a (plano).
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos integrar passo a passo. Primeiro, a integral em integralr^2 dz = 2 - r :
integral0^2pi integral0^2 r(2 - r) , dr , dtheta
Substituindo de volta:
integral0^2pi integral0^2 (2r - r^2) , dr , dtheta
Expandindo :

Passo 5

Agora, integramos em integral0^2 (2r - r^2) , dr = [ r^2 - r^33 ]0^2 = (4 - 83) - (0) = 43 :
integral0^2pi 43 , dtheta = 43 cdot 2pi = 8pi3
Substituindo novamente:

Resposta

O valor da integral é .

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