Escreva a integral
em coordenadas esféricas e calcule.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
O objetivo é reescrever essa integral em coordenadas esféricas e, depois, calcular o valor dela. Para isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas para as esféricas , além de saber como funciona o elemento de volume nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são definidas as coordenadas esféricas:
Aqui, é a distância do ponto até a origem, é o ângulo com o eixo , e é o ângulo no plano .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. Como as integrais de , e vão de 0 a raízes quadradas que envolvem 9, isso indica que estamos trabalhando no primeiro octante (onde , , são positivos) dentro de uma esfera de raio 3 (porque ).
Portanto, os limites em coordenadas esféricas serão:

Passo 4

Vamos reescrever o integrando e o elemento de volume em coordenadas esféricas. O integrando se simplifica para .
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 5

Com tudo isso, a integral original em coordenadas cartesianas fica assim em coordenadas esféricas:

Passo 6

Vamos calcular a integral passo a passo:
  1. Integração em :
  1. Integração em :
  1. Integração em :
Multiplicando tudo:

Resposta

A integral calculada vale .

Exercícios relacionados

Se calcule:
b) .
Calcule a integral
utilizando coordenadas cilíndricas.
Se .
(a) Calcule e ;
Considere a integral:
onde é a região definida por e .
4a
Resolva a integral utilizando coordenadas cilíndricas.