Escreva a integral
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2)^3 d z d y d x
em coordenadas esféricas e calcule.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2)^3 d z d y d x
O objetivo é reescrever essa integral em coordenadas esféricas e, depois, calcular o valor dela. Para isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas para as esféricas , além de saber como funciona o elemento de volume nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são definidas as coordenadas esféricas:
x = rho sin(phi) cos(theta) y = rho sin(phi) sin(theta) z = rho cos(phi)
Aqui, é a distância do ponto até a origem, é o ângulo com o eixo , e é o ângulo no plano .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. Como as integrais de 0 <= rho <= 3 0 <= phi <= pi2 0 <= theta <= pi2 , e vão de 0 a raízes quadradas que envolvem 9, isso indica que estamos trabalhando no primeiro octante (onde , , são positivos) dentro de uma esfera de raio 3 (porque ).
Portanto, os limites em coordenadas esféricas serão:

Passo 4

Vamos reescrever o integrando e o elemento de volume em coordenadas esféricas. O integrando dV = rho^2 sin(phi) , drho , dphi , dtheta se simplifica para .
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 5

Com tudo isso, a integral original em coordenadas cartesianas fica assim em coordenadas esféricas:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^3 rho^6 cdot rho^2 sin(phi) , drho , dphi , dtheta = integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^3 rho^8 sin(phi) , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos calcular a integral passo a passo:
  1. Integração em integral0^3 rho^8 , drho = [ rho^99 ]0^3 = 3^99 = 196839 = 2187 :
integral0^pi2 sin(phi) , dphi = [ -cos(phi) ]0^pi2 = -cos(pi2) + cos(0) = 0 + 1 = 1
  1. Integração em integral0^pi2 dtheta = pi2 - 0 = pi2 :
2187 times 1 times pi2 = 2187 pi2
  1. Integração em :
Multiplicando tudo:

Resposta

A integral calculada vale .

Exercícios relacionados