Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
O objetivo é reescrever essa integral em coordenadas esféricas e, depois, calcular o valor dela. Para isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas para as esféricas , além de saber como funciona o elemento de volume nessas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são definidas as coordenadas esféricas:
Aqui, é a distância do ponto até a origem, é o ângulo com o eixo , e é o ângulo no plano .
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. Como as integrais de , e vão de 0 a raízes quadradas que envolvem 9, isso indica que estamos trabalhando no primeiro octante (onde , , são positivos) dentro de uma esfera de raio 3 (porque ).
Portanto, os limites em coordenadas esféricas serão:
Passo 4
Vamos reescrever o integrando e o elemento de volume em coordenadas esféricas. O integrando se simplifica para .
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 5
Com tudo isso, a integral original em coordenadas cartesianas fica assim em coordenadas esféricas: