Usando a definição, prove que
é contínua em:
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que a função
é contínua no ponto
. Para isso, vamos usar a definição de continuidade em duas variáveis. Vamos precisar entender o que significa limite e como aplicá-lo nessa função. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua num ponto. Em uma variável, dizemos que
é contínua em
se:
Em duas variáveis, a ideia é a mesma, mas agora consideramos os limites quando
se aproxima de
. Ou seja,
é contínua em
se:
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, vamos encontrar o limite de
quando
se aproxima de
:
Passo 4
Vamos separar o limite em duas partes:
Calculando cada limite:
Portanto:
Passo 5
Como o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, de acordo com a definição de continuidade, concluímos que
é contínua no ponto
.
Resposta
Portanto, a função
é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule a seguinte integral dupla, utilizando coordenadas polares:
Mostre, pela definição, que:
a)
a)
Calcule a integral
utilizando coordenadas cilíndricas.
Se
calcule:
b) .
b)