Usando a definição, prove que é contínua em:
b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que a função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar a definição de continuidade em duas variáveis. Vamos precisar entender o que significa limite e como aplicá-lo nessa função. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua num ponto. Em uma variável, dizemos que é contínua em se:
Em duas variáveis, a ideia é a mesma, mas agora consideramos os limites quando se aproxima de . Ou seja, é contínua em se:

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos encontrar o limite de quando se aproxima de :

Passo 4

Vamos separar o limite em duas partes:
Calculando cada limite:
Portanto:

Passo 5

Como o limite de quando se aproxima de é igual a , de acordo com a definição de continuidade, concluímos que é contínua no ponto .

Resposta

Portanto, a função é contínua no ponto .

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Calcule a seguinte integral dupla, utilizando coordenadas polares:
Mostre, pela definição, que:
a)
Calcule a integral
utilizando coordenadas cilíndricas.
Se calcule:
b) .