Usando a definição, prove que f(x, y) = x * y + 6 * x é contínua em:
b) (x0, y0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que a função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar a definição de continuidade em duas variáveis. Vamos precisar entender o que significa limite e como aplicá-lo nessa função. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua num ponto. Em uma variável, dizemos que é contínua em se:
Em duas variáveis, a ideia é a mesma, mas agora consideramos os limites quando se aproxima de . Ou seja, é contínua em se:

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos encontrar o limite de quando se aproxima de :

Passo 4

Vamos separar o limite em duas partes:
Calculando cada limite:
Portanto:

Passo 5

Como o limite de quando se aproxima de é igual a , de acordo com a definição de continuidade, concluímos que é contínua no ponto .

Resposta

Portanto, a função é contínua no ponto .

Exercícios relacionados