Calcule a seguinte integral dupla, utilizando coordenadas polares:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral da função sobre uma região que forma um círculo de raio 2. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para áreas circulares. Então, vamos precisar saber como converter coordenadas cartesianas ( ) para polares ( ) e também ajustar a integral para essas novas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a conversão de coordenadas cartesianas para polares:
E o diferencial de área em coordenadas polares é dado por:
Isso significa que nossa integral vai mudar de para .

Passo 3

Agora, vamos olhar para os limites de integração. Como estamos integrando sobre um círculo de raio 2, o vai de 0 até 2. E como o círculo completa uma volta completa, o vai de 0 até .

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em coordenadas polares:
Aqui, e , então a função dentro da integral fica .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Mostre, pela definição, que:
a)
A concentração de uma substância química em uma solução é modelada pela função , onde é o tempo em horas após o início do experimento. Interprete o que o limite indica sobre a concentração da substância ao longo do tempo.
Usando a definição, prove que é contínua em:
b) .
Calcule a integral
utilizando coordenadas cilíndricas.