Calcule a seguinte integral dupla, utilizando coordenadas polares:
integral-2^2 integral-raiz4-y^2^raiz4-y^2 raizx^2+y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral da função sobre uma região que forma um círculo de raio 2. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para áreas circulares. Então, vamos precisar saber como converter coordenadas cartesianas ( ) para polares ( ) e também ajustar a integral para essas novas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a conversão de coordenadas cartesianas para polares:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
E o diferencial de área dA = r , dr , dtheta em coordenadas polares é dado por:
Isso significa que nossa integral vai mudar de para .

Passo 3

Agora, vamos olhar para os limites de integração. Como estamos integrando sobre um círculo de raio 2, o vai de 0 até 2. E como o círculo completa uma volta completa, o vai de 0 até .

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em coordenadas polares:
integral-2^2 integral-raiz4-y^2^raiz4-y^2 raizx^2+y^2 , dx , dy = integral0^2pi integral0^2 r cdot r , dr , dtheta
Aqui, e , então a função dentro da integral fica .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^2 r^2 , dr = [ r^33 ]0^2 = 2^33 - 0^33 = 83 :

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral0^2pi 83 , dtheta = 83 [ theta ]0^2pi = 83 cdot 2pi = 16pi3 :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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