Se
calcule:
b)
.
b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada parcial de em relação a
no ponto
. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar algumas regras de derivação em funções que envolvem produtos e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que denotamos por
. A função dada é um produto de duas partes:
e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto da derivada.
Passo 3
A regra do produto diz que se temos
, então a derivada de
em relação a
é:
Ou seja, derivamos
em relação a
e multiplicamos por
, depois adicionamos
multiplicado pela derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Porque a derivada de
em relação a
é 0, e a derivada de
é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Usamos a regra da cadeia aqui: a derivada de é
.
Passo 6
Agora, aplicamos a regra do produto:
Simplificando:
Passo 7
Agora, queremos avaliar
no ponto
. Vamos substituir
e
na expressão que encontramos.
Passo 8
Substituindo os valores:
Simplificando os argumentos das funções trigonométricas:
Passo 9
Agora, calculamos os valores das funções trigonométricas:
Passo 10
Substituindo esses valores na expressão:
Simplificando:
Resposta
Portanto,
Exercícios relacionados
Calcule a integral
utilizando coordenadas cilíndricas.
Usando a definição, prove que
é contínua em:
b) .
b)
Escreva a integral
em coordenadas esféricas e calcule.
Se
.
(a) Calcule e
;
(a) Calcule