Se calcule:
b) .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada parcial de em relação a no ponto . Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar algumas regras de derivação em funções que envolvem produtos e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que denotamos por . A função dada é um produto de duas partes: e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto da derivada.

Passo 3

A regra do produto diz que se temos , então a derivada de em relação a é:
Ou seja, derivamos em relação a e multiplicamos por , depois adicionamos multiplicado pela derivada de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular :
Porque a derivada de em relação a é 0, e a derivada de é .

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Usamos a regra da cadeia aqui: a derivada de é .

Passo 6

Agora, aplicamos a regra do produto:
Simplificando:

Passo 7

Agora, queremos avaliar no ponto . Vamos substituir e na expressão que encontramos.

Passo 8

Substituindo os valores:
Simplificando os argumentos das funções trigonométricas:

Passo 9

Agora, calculamos os valores das funções trigonométricas:

Passo 10

Substituindo esses valores na expressão:
Simplificando:

Resposta

Portanto,

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Calcule a integral
utilizando coordenadas cilíndricas.
Usando a definição, prove que é contínua em:
b) .
Escreva a integral
em coordenadas esféricas e calcule.
Se .
(a) Calcule e ;