Calcule a integral
, transformando para coordenadas cilíndricas. GAB: 0
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas. Isso envolve integrar a função
sobre uma região específica definida pelos limites dados. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para cilíndricas e ajustar os limites de integração de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, as relações são:
E o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é:
Vamos substituir
por
na função que estamos integrando.
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração. Observando os limites de
de
a
e
de
a
, percebemos que estamos lidando com um círculo de raio 2 no plano
. Isso sugere que
varia de
a
e
de
a
.
Passo 4
O limite para
é de
a
. Em coordenadas cilíndricas,
é simplesmente
. Portanto,
varia de
a
.
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral em coordenadas cilíndricas:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos distribuir
:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Passo 8
Calculando as integrais internas:
Substituindo de volta:
Passo 9
Agora, vamos integrar
de
a
:
Portanto, ambas as partes da integral são zero.
Resposta
A integral avaliada é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para movimentar um objeto sobre um arco da ciclóide
.
Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo.
Se o campo for conservativo determine uma função tal que
.
.
Se o campo for conservativo determine uma função
Dada a integral dupla
Inverta a ordem de integração;
Dada a integral dupla
Calcule I para a função dada por
.