Calcule a integral integral-2^2 integral-raiz4-y^2^raiz4-y^2 integralraizx^2+y^2^2 x z d z d x d y, transformando para coordenadas cilíndricas. GAB: 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas. Isso envolve integrar a função sobre uma região específica definida pelos limites dados. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para cilíndricas e ajustar os limites de integração de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, as relações são:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o elemento de volume dV = r, dr, dtheta, dz em coordenadas cilíndricas é:
Vamos substituir por na função que estamos integrando.

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração. Observando os limites de de a e de a , percebemos que estamos lidando com um círculo de raio 2 no plano . Isso sugere que varia de a e de a .

Passo 4

O limite para é de a . Em coordenadas cilíndricas, é simplesmente . Portanto, varia de a .

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral em coordenadas cilíndricas:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2 (r costheta) z cdot r, dz, dr, dtheta
Simplificando a expressão:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2 r^2 costheta , z, dz, dr, dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a integralr^2 z, dz = [ z^22 ]r^2 = 42 - r^22 = 2 - r^22 primeiro:
integral0^2pi integral0^2 r^2 costheta (2 - r^22) dr, dtheta
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos distribuir integral0^2pi integral0^2 (2r^2 costheta - r^42 costheta) dr, dtheta :
2 integral0^2pi costheta ( integral0^2 r^2, dr ) dtheta - 12 integral0^2pi costheta ( integral0^2 r^4, dr ) dtheta
Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 8

Calculando as integrais internas:
integral0^2 r^2, dr = [ r^33 ]0^2 = 83
integral0^2 r^4, dr = [ r^55 ]0^2 = 325
Substituindo de volta:
2 cdot 83 integral0^2pi costheta, dtheta - 12 cdot 325 integral0^2pi costheta, dtheta

Passo 9

Agora, vamos integrar integral0^2pi costheta, dtheta = [ sintheta ]0^2pi = 0 de a :
Portanto, ambas as partes da integral são zero.

Resposta

A integral avaliada é igual a .

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