Calcule a integral , transformando para coordenadas cilíndricas. GAB: 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas. Isso envolve integrar a função sobre uma região específica definida pelos limites dados. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para cilíndricas e ajustar os limites de integração de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, as relações são:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Vamos substituir por na função que estamos integrando.

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração. Observando os limites de de a e de a , percebemos que estamos lidando com um círculo de raio 2 no plano . Isso sugere que varia de a e de a .

Passo 4

O limite para é de a . Em coordenadas cilíndricas, é simplesmente . Portanto, varia de a .

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral em coordenadas cilíndricas:
Simplificando a expressão:

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos distribuir :
Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 8

Calculando as integrais internas:
Substituindo de volta:

Passo 9

Agora, vamos integrar de a :
Portanto, ambas as partes da integral são zero.

Resposta

A integral avaliada é igual a .

Exercícios relacionados

Determine o trabalho realizado pelo campo de força para movimentar um objeto sobre um arco da ciclóide .
Determine se é ou não um campo vetorial conservativo.
Se o campo for conservativo determine uma função tal que .
.
Dada a integral dupla
Inverta a ordem de integração;
Dada a integral dupla
Calcule I para a função dada por .