Determine o trabalho realizado pelo campo de força para movimentar um objeto sobre um arco da ciclóide .

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício de física que envolve calcular o trabalho realizado por um campo de força. O enunciado nos dá o campo de força e o caminho que o objeto vai seguir, que é um arco de ciclóide definido por para . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de trabalho como integral de linha e verificar se o campo de força é conservativo, o que pode simplificar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão para o vetor deslocamento diferencial . Isso significa derivar em relação a :
Então, o vetor deslocamento diferencial é:

Passo 3

Agora, vamos substituir a parametrização na expressão do campo de força :

Passo 4

O próximo passo é calcular o produto escalar entre e :
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar o trabalho total realizado, vamos integrar a expressão acima de até :
Observando que o campo de força é conservativo (pois o rotacional é zero), podemos facilitar o cálculo encontrando uma função potencial tal que .
Encontrando a função potencial:
Então, o trabalho é a diferença da função potencial nos pontos finais:

Resposta

O trabalho realizado é .

Exercícios relacionados

Determine se é ou não um campo vetorial conservativo.
Se o campo for conservativo determine uma função tal que .
.
Seja : Mostre que não é independente do caminho. [Dica: Calcule a integral nos caminhos e, metade superior e inferior da circunferência de até .
Calcule a integral , transformando para coordenadas cilíndricas. GAB: 0
Dada a integral dupla
Inverta a ordem de integração;