Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y) - x * i + (y + 2) * j para movimentar um objeto sobre um arco da ciclóide r(t) = [t - sen(t)] i + [1 - cos(t)] j, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício de física que envolve calcular o trabalho realizado por um campo de força. O enunciado nos dá o campo de força e o caminho que o objeto vai seguir, que é um arco de ciclóide definido por para . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de trabalho como integral de linha e verificar se o campo de força é conservativo, o que pode simplificar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão para o vetor deslocamento diferencial . Isso significa derivar vec(r)(t) em relação a t:
Então, o vetor deslocamento diferencial é:

Passo 3

Agora, vamos substituir a parametrização vec(r)(t) na expressão do campo de força F(x, y):

Passo 4

O próximo passo é calcular o produto escalar entre e :
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar o trabalho total realizado, vamos integrar a expressão acima de até :
Observando que o campo de força é conservativo (pois o rotacional é zero), podemos facilitar o cálculo encontrando uma função potencial F tal que .
Encontrando a função potencial:
Então, o trabalho é a diferença da função potencial nos pontos finais:

Resposta

O trabalho realizado é .

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