Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para movimentar um objeto sobre um arco da ciclóide
.
Passo 1
Então, a gente tem aqui um exercício de física que envolve calcular o trabalho realizado por um campo de força. O enunciado nos dá o campo de força
e o caminho que o objeto vai seguir, que é um arco de ciclóide definido por para
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de trabalho como integral de linha e verificar se o campo de força é conservativo, o que pode simplificar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a expressão para o vetor deslocamento diferencial
. Isso significa derivar
em relação a
:
Então, o vetor deslocamento diferencial é:
Passo 3
Agora, vamos substituir a parametrização
na expressão do campo de força
:
Passo 4
O próximo passo é calcular o produto escalar entre
e
:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar o trabalho total realizado, vamos integrar a expressão acima de
até
:
Observando que o campo de força
é conservativo (pois o rotacional é zero), podemos facilitar o cálculo encontrando uma função potencial
tal que
.
Encontrando a função potencial:
Então, o trabalho é a diferença da função potencial nos pontos finais:
Resposta
O trabalho realizado é
.