Dada a integral dupla
Inverta a ordem de integração;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. A gente tem uma integral dupla definida como
A tarefa é inverter a ordem de integração, ou seja, passar a integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, vamos precisar entender a região de integração e ajustar os limites de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde a integração está ocorrendo. Olhando para os limites internos e externos:
  • O limite externo para vai de 0 a 2.
  • Para cada valor de , varia de até 4.
Vamos tentar visualizar isso no plano .

Passo 3

Vamos desenhar a região :
  1. Limite de : .
  2. Limite de : Para cada , varia de até 4.
Isso significa que a linha começa no ponto e vai até , já que quando , . A linha vertical vai de até .

Passo 4

Para inverter a ordem, precisamos expressar em termos de :
  • Primeiro, determinamos os limites de . Observando a região, vai de 0 até 4.
  • Para cada , varia de 0 até , já que implica .

Passo 5

Agora que temos os novos limites, podemos reescrever a integral com a ordem invertida:

Resposta

A ordem de integração invertida fica

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