Dada a integral dupla
Inverta a ordem de integração;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. A gente tem uma integral dupla definida como
A tarefa é inverter a ordem de integração, ou seja, passar a integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para isso, vamos precisar entender a região
de integração e ajustar os limites de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
onde a integração está ocorrendo. Olhando para os limites internos e externos:
- O limite externo para
vai de 0 a 2. - Para cada valor de
, varia de até 4.
Vamos tentar visualizar isso no plano
.
Passo 3
Vamos desenhar a região
:
- Limite de
: . - Limite de
: Para cada , varia de até 4.
Isso significa que a linha
começa no ponto
e vai até
, já que quando
,
. A linha vertical
vai de
até
.
Passo 4
Para inverter a ordem, precisamos expressar
em termos de
:
- Primeiro, determinamos os limites de
. Observando a região, vai de 0 até 4. - Para cada
, varia de 0 até , já que implica .
Passo 5
Agora que temos os novos limites, podemos reescrever a integral com a ordem invertida:
Resposta
A ordem de integração invertida fica
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Calcule a integral
, transformando para coordenadas cilíndricas. GAB: 0
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para movimentar um objeto sobre um arco da ciclóide
.
Dada a integral dupla
Calcule I para a função dada por
.
Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina
que ocupa a região
cuja densidade é determinada por
.