Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo.
Se o campo for conservativo determine uma função
tal que
.
.
Se o campo for conservativo determine uma função
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
e precisamos determinar se ele é conservativo. Se for, devemos encontrar uma função
tal que
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teste de conservatividade e a integração de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo
é conservativo. Em duas dimensões, um campo vetorial
é conservativo se satisfizer a condição de conservatividade, que é:
Vamos identificar
e
:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 3
Como o campo é conservativo, existe uma função potencial
tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Onde
é uma função de integração que depende apenas de
. Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Podemos ignorar essa constante ou considerá-la como zero para simplificar.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo e uma função potencial
que satisfaz
é:
Onde
é uma constante qualquer.
Exercícios relacionados
Seja
: Mostre que
não é independente do caminho. [Dica: Calcule a integral nos caminhos
e,
metade superior e inferior da circunferência
de
até
.
Mostre que a integral de linha
não é independente do caminho.
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para movimentar um objeto sobre um arco da ciclóide
.
Calcule a integral
, transformando para coordenadas cilíndricas. GAB: 0