Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo.
Se o campo for conservativo determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = [y * e^x + sen(y)] * i + [e^x + x * cos(y)] * j.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial F(x, y) = [y * e^x + sen(y)] * i + [e^x + x * cos(y)] * j e precisamos determinar se ele é conservativo. Se for, devemos encontrar uma função f tal que . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teste de conservatividade e a integração de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo F é conservativo. Em duas dimensões, um campo vetorial é conservativo se satisfizer a condição de conservatividade, que é:
Vamos identificar M e N:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como , o campo F é conservativo.

Passo 3

Como o campo é conservativo, existe uma função potencial f(x, y) tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar em relação a x para encontrar f(x, y):
Onde g(y) é uma função de integração que depende apenas de y. Agora, derivamos f(x, y) em relação a y e igualamos a para encontrar g(y):
Isso implica que , ou seja, g(y) é uma constante. Podemos ignorar essa constante ou considerá-la como zero para simplificar.

Resposta

O campo vetorial F é conservativo e uma função potencial f que satisfaz é:
Onde C é uma constante qualquer.

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