Determine se é ou não um campo vetorial conservativo.
Se o campo for conservativo determine uma função tal que .
.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e precisamos determinar se ele é conservativo. Se for, devemos encontrar uma função tal que . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teste de conservatividade e a integração de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Em duas dimensões, um campo vetorial é conservativo se satisfizer a condição de conservatividade, que é:
Vamos identificar e :
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como , o campo é conservativo.

Passo 3

Como o campo é conservativo, existe uma função potencial tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Onde é uma função de integração que depende apenas de . Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Podemos ignorar essa constante ou considerá-la como zero para simplificar.

Resposta

O campo vetorial é conservativo e uma função potencial que satisfaz é:
Onde é uma constante qualquer.

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