Dada a integral dupla
I=integral duplaD f(x, y) d x d y=integral0^2 integral2 y^4 f(x, y) d x d y
Calcule I para a função dada por f(x, y)=4 e^x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. A gente tem uma função e precisamos calcular a integral dessa função sobre a região definida pelas limitações de e . Vamos usar o que aprendemos sobre integrais duplas para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração I = integral0^2 integral2y^4 4 e^x^2 , dx , dy . A integral está definida como:
Isso significa que varia de 0 a 2, e para cada valor de , varia de até 4. Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando a integral interna, que é a integral de integral2y^4 4 e^x^2 , dx em relação a 4 integral2y^4 e^x^2 , dx :
Aqui, percebemos que a integral de não tem uma antiderivada elementar, ou seja, não podemos expressá-la com funções básicas que conhecemos. Contudo, como estamos multiplicando por 4, podemos reescrever a integral como:
Mas, nesse caso, sem uma antiderivada conhecida, precisamos usar métodos numéricos ou reconhecer que a integral representa uma função especial chamada Função de Erro. Para simplificar nosso cálculo, vamos considerar a integral como está.

Passo 4

Agora, vamos substituir essa integral interna na integral externa:
I = integral0^2 (4 integral2y^4 e^x^2 , dx ) dy
Como a integral interna não pode ser expressa de forma simples, a solução exata envolveria a Função de Erro, que está além do nosso escopo atual. Portanto, para obter um valor numérico, precisaríamos usar métodos de aproximação ou ferramentas computacionais.

Resposta

A integral I = 4 integral0^2 [ raizpi2 erf(4) - raizpi2 erf(2y) ] dy não pode ser expressa em termos de funções elementares conhecidas. Para obter o valor exato, seria necessário utilizar métodos numéricos ou a Função de Erro. Portanto, a resposta é expressa em termos da Função de Erro:

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