Dada a integral dupla
Calcule I para a função dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. A gente tem uma função
e precisamos calcular a integral dessa função sobre a região
definida pelas limitações de
e
. Vamos usar o que aprendemos sobre integrais duplas para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. A integral está definida como:
Isso significa que
varia de 0 a 2, e para cada valor de
,
varia de
até 4. Vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Vamos começar calculando a integral interna, que é a integral de
em relação a
:
Aqui, percebemos que a integral de
não tem uma antiderivada elementar, ou seja, não podemos expressá-la com funções básicas que conhecemos. Contudo, como estamos multiplicando por 4, podemos reescrever a integral como:
Mas, nesse caso, sem uma antiderivada conhecida, precisamos usar métodos numéricos ou reconhecer que a integral representa uma função especial chamada Função de Erro. Para simplificar nosso cálculo, vamos considerar a integral como está.
Passo 4
Agora, vamos substituir essa integral interna na integral externa:
Como a integral interna não pode ser expressa de forma simples, a solução exata envolveria a Função de Erro, que está além do nosso escopo atual. Portanto, para obter um valor numérico, precisaríamos usar métodos de aproximação ou ferramentas computacionais.
Resposta
A integral
não pode ser expressa em termos de funções elementares conhecidas. Para obter o valor exato, seria necessário utilizar métodos numéricos ou a Função de Erro. Portanto, a resposta é expressa em termos da Função de Erro:
Exercícios relacionados
Dada a integral dupla
Inverta a ordem de integração;
Calcule a integral
, transformando para coordenadas cilíndricas. GAB: 0
Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina
que ocupa a região
cuja densidade é determinada por
.
Seja
a região limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Calcule o volume de .
Calcule o volume de