Calcule integral raiz6-3 x^2 d x

Passo 1

Beleza, temos o exercício de calcular a integral . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição trigonométrica, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que 6 - 3x^2 = 3(2 - x^2) pode ser fatorado:
integral raiz3(2 - x^2) , dx = raiz3 integral raiz2 - x^2 , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, focamos na integral x = a sin theta . Para resolver isso, usamos uma substituição trigonométrica. Sabemos que para integrais da forma x = raiz2 sin theta e dx = raiz2 cos theta , dtheta , podemos usar a substituição:
No nosso caso, , então . Portanto, fazemos:

Passo 4

Substituindo na integral:
integral raiz2 - x^2 , dx = integral raiz2 - 2sin^2 theta cdot raiz2 cos theta , dtheta
Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz2(1 - sin^2 theta) = raiz2 cos^2 theta = raiz2 |cos theta|
Como raiz2 cos theta está na faixa onde integral raiz2 cos theta cdot raiz2 cos theta , dtheta = 2 integral cos^2 theta , dtheta é positivo, podemos tirar o valor absoluto:
Então, a integral fica:

Passo 5

Utilizamos a identidade trigonométrica para cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 :
2 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = integral (1 + cos 2theta) , dtheta = theta + sin 2theta2 + C
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, voltamos à variável original x = raiz2 sin theta Rightarrow sin theta = xraiz2 Rightarrow theta = arcsin(xraiz2) . Sabemos que:
sin 2theta = 2 sin theta cos theta = 2 cdot xraiz2 cdot raiz1 - (xraiz2)^2 = 2xraiz2 cdot raiz2 - x^22 = x raiz2 - x^2
E:

Resposta

Finalmente, substituindo tudo de volta, a integral é:
integral raiz6 - 3x^2 , dx = raiz3 , x2 raiz2 - x^2 + raiz3 arcsin(xraiz2) + C
Onde é a constante de integração.

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