Determine, se existirem, os pontos nos quais a função não é contínua.
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir onde a função não é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções, que envolvem verificar se os limites existem e se são iguais ao valor da função no ponto em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a definição da função . Ela está dividida em duas partes:
Isso significa que para todo valor de diferente de 1, a função é dada pela fração , e especificamente em , a função vale 1.

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade em . Para uma função ser contínua nesse ponto, três coisas precisam acontecer:
  1. A função está definida em (o que está, já que ).
  2. O limite da função quando se aproxima de 1 existe.
  3. O limite é igual ao valor da função em .

Passo 4

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1:
Primeiro, tentamos substituir :
Isso resulta em uma indeterminação , que sugere que o limite pode ser infinito ou não existir.

Passo 5

Para resolver isso, podemos fatorar o numerador:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, o polinômio não possui raízes reais, o que significa que não podemos simplificar a fração. Portanto, quando se aproxima de 1, o denominador se aproxima de 0, mas o numerador se aproxima de 2. Isso indica que o limite tende a ou , dependendo pela direção, mas essencialmente, o limite não existe de forma finita.

Passo 6

Como o limite de quando se aproxima de 1 não existe de forma finita, não podemos igualá-lo ao valor da função em , que é 1. Isso significa que há uma descontinuidade em .

Resposta

A função não é contínua no ponto .

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Considere a função . Determine o valor de para que seja uma função contínua.
d)
Calcule: (Respostas: (a) 0
(b) Diverge
© Diverge)
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