Determine, se existirem, os pontos nos quais a função
não é contínua.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir onde a função
não é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções, que envolvem verificar se os limites existem e se são iguais ao valor da função no ponto em questão.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a definição da função
. Ela está dividida em duas partes:
Isso significa que para todo valor de
diferente de 1, a função é dada pela fração
, e especificamente em
, a função vale 1.
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade em
. Para uma função ser contínua nesse ponto, três coisas precisam acontecer:
- A função está definida em
(o que está, já que ). - O limite da função quando
se aproxima de 1 existe. - O limite é igual ao valor da função em
.
Passo 4
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1:
Primeiro, tentamos substituir
:
Isso resulta em uma indeterminação
, que sugere que o limite pode ser infinito ou não existir.
Passo 5
Para resolver isso, podemos fatorar o numerador:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, o polinômio não possui raízes reais, o que significa que não podemos simplificar a fração. Portanto, quando
se aproxima de 1, o denominador se aproxima de 0, mas o numerador se aproxima de 2. Isso indica que o limite tende a
ou
, dependendo pela direção, mas essencialmente, o limite não existe de forma finita.
Passo 6
Como o limite de
quando
se aproxima de 1 não existe de forma finita, não podemos igualá-lo ao valor da função em
, que é 1. Isso significa que há uma descontinuidade em
.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Considere a função
. Determine o valor de
para que
seja uma função contínua.
d)
Calcule:
(Respostas: (a) 0
(b) Diverge
© Diverge)
(b) Diverge
© Diverge)
Calcule