Calcule a integral:
integral raizcos x sen^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular:
integral raizcos x cdot sin^3 x , dx
Estamos lidando com uma integral envolvendo funções trigonométricas e raízes. Para resolver, vamos precisar usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complexas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = cos x
Agora, precisamos calcular a derivada de du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx em relação a :

Passo 3

Vamos reescrever a integral original em termos de sin^3 x = sin^2 x cdot sin x = (1 - cos^2 x) cdot sin x = (1 - u^2) cdot sin x e integral raizcos x cdot sin^3 x , dx = integral raizu cdot (1 - u^2) cdot sin x , dx . Observamos que:
= integral raizu cdot (1 - u^2) cdot (-du) = -integral raizu cdot (1 - u^2) , du
Substituindo na integral:
Mas sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
raizu cdot (1 - u^2) = u^1/2 - u^5/2
Então, a integral fica:
- integral ( u^1/2 - u^5/2 ) , du = - ( integral u^1/2 , du - integral u^5/2 , du )

Passo 5

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente:
  1. - ( 23 u^3/2 - 27 u^7/2 ) = -23 u^3/2 + 27 u^7/2
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, substituímos -23 (cos x)^3/2 + 27 (cos x)^7/2 + C de volta para a variável original:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
27 cos^7/2 x - 23 cos^3/2 x + C

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