Calcule o volume do sólido
dado por
Passo 1
Opa! Vamos calcular o volume do sólido
definido por algumas condições. A gente precisa usar conceitos de cálculo de integrais múltiplas para resolver isso. Primeiro, vamos entender as restrições:
-
: que define uma região no plano . -
: indica os limites de altura no eixo . -
e : restringem a região ao primeiro quadrante.
Vamos precisar das fórmulas de integração dupla e saber como definir os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a desigualdade
. Podemos completar o quadrado em relação a
:
Isso representa um círculo de raio 1 centrado em
no plano
.
Passo 3
Como estamos no primeiro quadrante (
e
), a região de integração é a parte do círculo que fica onde
e
são positivos. Geometricamente, isso é um quarto de círculo deslocado.
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. No entanto, como o círculo está centrado em
, uma substituição será necessária. Mas, para simplificar, podemos integrar diretamente em
e
.
Passo 5
Vamos determinar os limites de
e
:
-
varia de 0 a 2 (já que o círculo tem raio 1 e está centrado em ). - Para cada
, varia de 0 a (resolvendo para ).
Passo 6
Agora, configuramos a integral dupla para a área da base:
Passo 7
Como queremos o volume entre
e
, multiplicamos a área integrada por
:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Substituindo os limites:
Passo 9
Agora, a integral externa fica:
Vamos dividir isso em duas partes:
Passo 10
Resolvendo a primeira integral, fazemos uma substituição
:
Essa integração pode ser complexa, mas após resolver, obtemos:
Resolvendo a segunda integral:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.