Calcule o volume do sólido B dado por
x^2 + y^2 - 2x <= 0, 0 <= z <= x + y, x >= 0 e y >= 0

Passo 1

Opa! Vamos calcular o volume do sólido definido por algumas condições. A gente precisa usar conceitos de cálculo de integrais múltiplas para resolver isso. Primeiro, vamos entender as restrições:
  • : que define uma região no plano .
  • : indica os limites de altura no eixo .
  • e : restringem a região ao primeiro quadrante.
Vamos precisar das fórmulas de integração dupla e saber como definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a desigualdade . Podemos completar o quadrado em relação a :
Isso representa um círculo de raio 1 centrado em no plano .

Passo 3

Como estamos no primeiro quadrante ( e ), a região de integração é a parte do círculo que fica onde e são positivos. Geometricamente, isso é um quarto de círculo deslocado.

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. No entanto, como o círculo está centrado em , uma substituição será necessária. Mas, para simplificar, podemos integrar diretamente em e .

Passo 5

Vamos determinar os limites de e :
  • varia de 0 a 2 (já que o círculo tem raio 1 e está centrado em ).
  • Para cada , varia de 0 a (resolvendo para ).

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla para a área da base:
Á

Passo 7

Como queremos o volume entre e , multiplicamos a área integrada por :

Passo 8

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Substituindo os limites:

Passo 9

Agora, a integral externa fica:
Vamos dividir isso em duas partes:

Passo 10

Resolvendo a primeira integral, fazemos uma substituição :
Essa integração pode ser complexa, mas após resolver, obtemos:
Resolvendo a segunda integral:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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