Dado a in R resolva os itens abaixo.
Sejam F(s) e G(s) a transformada de Laplace das funções f(t) = cos(t) at ) e g(t) = sen(at), respectivamente. Observando que H(s) = F(s) + i G(s) e usando o item anterior, verifique que, para s > 0, temos
F(s) = s / (s^2 + a^2), G(s) = a / (s^2 + a^2)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos duas funções trigonométricas: e . Queremos encontrar as transformadas de Laplace dessas funções, que chamamos de e , respectivamente. Além disso, foi apresentado que . Nosso objetivo é verificar que, para , as transformadas são:
Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é dada por:
Isso transforma uma função de tempo em uma função de frequência .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição para encontrar , a transformada de Laplace de :
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula padrão da transformada de Laplace para o cosseno.

Passo 4

A fórmula da transformada de Laplace para é:
Portanto, temos:

Passo 5

Agora, vamos encontrar , a transformada de Laplace de :
Assim como no caso do cosseno, usaremos a fórmula padrão da transformada de Laplace para o seno.

Passo 6

A fórmula da transformada de Laplace para é:
Portanto, temos:

Passo 7

Agora que encontramos e , vamos verificar a expressão para :
Essa forma é útil porque representa a transformada de Laplace da função exponencial complexa .

Passo 8

Portanto, mostramos que:
para , conforme pedido no exercício.

Resposta

As transformadas de Laplace são e para .

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