Dado
resolva os itens abaixo.
Sejam
e
a transformada de Laplace das funções
at
e
, respectivamente. Observando que
e usando o item anterior, verifique que, para
, temos
Sejam
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos duas funções trigonométricas:
e
. Queremos encontrar as transformadas de Laplace dessas funções, que chamamos de
e
, respectivamente. Além disso, foi apresentado que
. Nosso objetivo é verificar que, para
, as transformadas são:
Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Isso transforma uma função de tempo
em uma função de frequência
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição para encontrar
, a transformada de Laplace de
:
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula padrão da transformada de Laplace para o cosseno.
Passo 4
A fórmula da transformada de Laplace para
é:
Portanto, temos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
, a transformada de Laplace de
:
Assim como no caso do cosseno, usaremos a fórmula padrão da transformada de Laplace para o seno.
Passo 6
A fórmula da transformada de Laplace para
é:
Portanto, temos:
Passo 7
Agora que encontramos
e
, vamos verificar a expressão para
:
Essa forma é útil porque representa a transformada de Laplace da função exponencial complexa
.
Passo 8
Portanto, mostramos que:
para
, conforme pedido no exercício.
Resposta
As transformadas de Laplace são
e
para
.