Calcule integral raizx^2-3x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem para calcular a integral . Isso envolve integração, especificamente uma integral que combina raízes e potências de . Para resolver isso, vamos precisar usar um método de substituição que simplifique a expressão, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a raiz quadrada. Vamos definir . Isso significa que e, derivando ambos os lados, temos . Essa substituição vai nos ajudar a transformar a integral em termos de , o que geralmente é mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, substituímos integral raizx^2-3x^3 , dx = integral raiz(1t)^2 - 3(1t)^3 cdot (-1t^2) , dt e integral raiz1t^2 - 31t^3 cdot (-1t^2) , dt = -integral raiz1 - 3t^2t^21t^3 cdot 1t^2 , dt na integral original:
Vamos simplificar passo a passo:
Substituindo:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da raiz e os denominadores:
raiz1 - 3t^2t^2 = raiz1 - 3t^2t
E a fração:
raiz1 - 3t^2t1t^3 = raiz1 - 3t^2 cdot t^2
Portanto, a integral fica:
- integral raiz1 - 3t^2 cdot t^2 cdot 1t^2 , dt = -integral raiz1 - 3t^2 , dt

Passo 5

Agora, temos a integral simplificada:
- integral raiz1 - 3t^2 , dt
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir - integral raiz1 - u^2 cdot duraiz3 = -1raiz3 integral raiz1 - u^2 , du , então e . Substituindo na integral:
Sabemos que , onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando isso na nossa expressão:
- 1raiz3 ( u2 raiz1 - u^2 + 12 arcsin(u) ) + C
Agora, substituímos - 1raiz3 ( raiz3 t2 raiz1 - 3t^2 + 12 arcsin(raiz3 t) ) + C de volta:
- 12 t raiz1 - 3t^2 - 12raiz3 arcsin(raiz3 t) + C
Simplificando:

Passo 7

Lembrando que - 12 cdot 1x cdot raiz1 - 3x^2 - 12raiz3 arcsin(raiz3x) + C , substituímos novamente:
raiz1 - 3x^2 = raizx^2 - 3x
Simplificando a raiz:
- 12 cdot 1x cdot raizx^2 - 3x - 12raiz3 arcsin(raiz3x) + C = -raizx^2 - 32x^2 - 12raiz3 arcsin(raiz3x) + C
Portanto, temos:

Resposta

A integral -raizx^2 - 32x^2 - 12raiz3 arcsin(raiz3x) + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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