Calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem para calcular a integral . Isso envolve integração, especificamente uma integral que combina raízes e potências de . Para resolver isso, vamos precisar usar um método de substituição que simplifique a expressão, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a raiz quadrada. Vamos definir . Isso significa que e, derivando ambos os lados, temos . Essa substituição vai nos ajudar a transformar a integral em termos de , o que geralmente é mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, substituímos e na integral original:
Vamos simplificar passo a passo:
Substituindo:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da raiz e os denominadores:
E a fração:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Agora, temos a integral simplificada:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir , então e . Substituindo na integral:
Sabemos que , onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando isso na nossa expressão:
Agora, substituímos de volta:
Simplificando:

Passo 7

Lembrando que , substituímos novamente:
Simplificando a raiz:
Portanto, temos:

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

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