Calcule integral x^3+x+1x^2-2 x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral . Isso é um problema de cálculo integral envolvendo funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar fazer uma divisão polinomial primeiro, já que o grau do numerador (3) é maior ou igual ao do denominador (2).

Passo 2

Primeiro, vamos dividir x^3 + x + 1x^2 - 2x + 1 = Q(x) + R(x)x^2 - 2x + 1 por . Esse processo é parecido com a divisão comum, só que com polinômios. Então, colocamos:
Onde é o quociente e é o resto da divisão.

Passo 3

Vamos começar a divisão:
  1. x^3 + x + 1 - (x cdot (x^2 - 2x + 1)) = x^3 + x + 1 - (x^3 - 2x^2 + x) = 2x^2 + 1 . Multiplicamos 2x^2 + 1 - (2 cdot (x^2 - 2x + 1)) = 2x^2 + 1 - (2x^2 - 4x + 2) = 4x -1 por x^3+x+1x^2-2 x+1 = x + 2 + 4x -1x^2 - 2x +1 e subtraímos:
  1. Agora, dividimos por , que dá . Multiplicamos por e subtraímos:
Então, a divisão nos dá:

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
integral x^3+x+1x^2-2 x+1 , dx = integral (x + 2) , dx + integral 4x -1x^2 - 2x +1 , dx
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 5

Primeira parte: integral x , dx = 12x^2 e integral 2 , dx = 2x
Integrando termo a termo:
integral (x + 2) , dx = 12x^2 + 2x
Portanto:

Passo 6

Segunda parte: x^2 - 2x +1 = (x -1)^2
Primeiro, vamos simplificar o denominador:
integral 4x -1(x -1)^2 , dx
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, fazemos uma substituição para facilitar. Vamos deixar integral 4(u +1) -1u^2 , du = integral 4u +4 -1u^2 , du = integral 4u +3u^2 , du , então integral ( 4uu^2 + 3u^2 ) , du = integral ( 4u + 3u^-2 ) , du e .
Substituindo na integral:
Que podemos separar em duas frações:

Passo 8

Integrando cada termo:
integral 4u , du = 4 ln|u| e integral 3u^-2 , du = 3 ( -u^-1 ) = -3u
Substituindo 4 ln|x -1| - 3x -1 :

Passo 9

Agora, juntando as duas partes que integramos:
12x^2 + 2x + 4 ln|x -1| - 3x -1 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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