Calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral . Isso é um problema de cálculo integral envolvendo funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar fazer uma divisão polinomial primeiro, já que o grau do numerador (3) é maior ou igual ao do denominador (2).

Passo 2

Primeiro, vamos dividir por . Esse processo é parecido com a divisão comum, só que com polinômios. Então, colocamos:
Onde é o quociente e é o resto da divisão.

Passo 3

Vamos começar a divisão:
  1. . Multiplicamos por e subtraímos:
  1. Agora, dividimos por , que dá . Multiplicamos por e subtraímos:
Então, a divisão nos dá:

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 5

Primeira parte:
Integrando termo a termo:
Portanto:

Passo 6

Segunda parte:
Primeiro, vamos simplificar o denominador:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, fazemos uma substituição para facilitar. Vamos deixar , então e .
Substituindo na integral:
Que podemos separar em duas frações:

Passo 8

Integrando cada termo:
Substituindo :

Passo 9

Agora, juntando as duas partes que integramos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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