Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral
. Isso é um problema de cálculo integral envolvendo funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar fazer uma divisão polinomial primeiro, já que o grau do numerador (3) é maior ou igual ao do denominador (2).
Passo 2
Primeiro, vamos dividir
por
. Esse processo é parecido com a divisão comum, só que com polinômios. Então, colocamos:
Onde
é o quociente e
é o resto da divisão.
Passo 3
Vamos começar a divisão:
-
. Multiplicamos por e subtraímos:
- Agora, dividimos
por , que dá . Multiplicamos por e subtraímos:
Então, a divisão nos dá:
Passo 4
Agora, nossa integral fica:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 5
Primeira parte:
Integrando termo a termo:
Portanto:
Passo 6
Segunda parte:
Primeiro, vamos simplificar o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, fazemos uma substituição para facilitar. Vamos deixar
, então
e
.
Substituindo na integral:
Que podemos separar em duas frações:
Passo 8
Integrando cada termo:
Substituindo
:
Passo 9
Agora, juntando as duas partes que integramos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
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Mostre que uma função diferenciável
decresce mais rapidamente na direção oposta a do vetor gradiente, ou seja, na direção de
.
(2,0 pts) Parametrize nas variáveis
a porção da superfície
entre os planos
e
. Apresente a integral dupla (não precisa calcular) que representa a área de tal superficie.
Seja
.
Em que direção a taxa de variação de no ponto
é máxima? Qual é o valor da taxa máxima nesse ponto?
Em que direção a taxa de variação de
Calcule