Calcule a massa e o centro de massa dos itens abaixo. Faça a representação geométrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a massa e o centro de massa de uma região no espaço tridimensional, definida por:
Isso significa que estamos lidando com a metade superior de um elipsoide. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral relacionados a massa e centro de massa de sólidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria do problema. A equação representa um elipsoide completo. Porém, a condição limita nossa região para apenas a metade superior desse elipsoide.
Passo 3
Para calcular a massa, precisamos integrar a densidade sobre o volume da região . Vamos supor que a densidade seja constante. A massa é dada por:
onde é o volume da região .
Passo 4
Vamos calcular o volume do elipsoide completo primeiro. O volume de um elipsoide é:
Como estamos considerando apenas a metade superior, o volume será metade disso:
Passo 5
Agora que temos o volume, podemos calcular a massa :
Passo 6
Para encontrar o centro de massa, precisamos calcular as coordenadas . Devido à simetria do elipsoide em relação aos eixos e , sabemos que e .
Passo 7
Focaremos agora em encontrar . A coordenada do centro de massa é dada por:
Vamos utilizar coordenadas esféricas para facilitar a integração devido à simetria do problema.
Passo 8
Após realizar os cálculos da integração (que envolvem mudanças de variáveis e uso da geometria do elipsoide), chegamos à expressão para :
Resposta
A massa da região é e o centro de massa está localizado em .