Seja .
Em que direção a taxa de variação de no ponto é máxima? Qual é o valor da taxa máxima nesse ponto?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos a função . A questão quer saber em qual direção, no ponto (0,0), a taxa de variação dessa função é máxima e qual é o valor dessa taxa máxima.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e gradiente, que fazem parte do cálculo multivariável. O gradiente da função nos dá exatamente a direção de maior crescimento da função e a magnitude do gradiente é a taxa máxima de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a , que são os componentes do gradiente.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Substituindo e em :
E em :

Passo 4

Com isso, o gradiente de no ponto é:

Passo 5

A direção em que a taxa de variação de é máxima é justamente a direção do gradiente. Então, a direção máxima é a mesma que a direção do vetor .
Para expressar isso como um vetor unitário (de direção), normalizamos o vetor gradiente. Mas, como já tem magnitude 1, a direção máxima é simplesmente .

Passo 6

A taxa máxima de variação é dada pela magnitude do gradiente. Calculamos a magnitude de :

Resposta

No ponto , a taxa de variação de é máxima na direção do vetor e o valor dessa taxa máxima é .

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