Seja
.
Em que direção a taxa de variação de
no ponto
é máxima? Qual é o valor da taxa máxima nesse ponto?
Em que direção a taxa de variação de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos a função
. A questão quer saber em qual direção, no ponto (0,0), a taxa de variação dessa função é máxima e qual é o valor dessa taxa máxima.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e gradiente, que fazem parte do cálculo multivariável. O gradiente da função nos dá exatamente a direção de maior crescimento da função e a magnitude do gradiente é a taxa máxima de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
, que são os componentes do gradiente.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
.
Substituindo
e
em
:
E em
:
Passo 4
Com isso, o gradiente de
no ponto
é:
Passo 5
A direção em que a taxa de variação de
é máxima é justamente a direção do gradiente. Então, a direção máxima é a mesma que a direção do vetor
.
Para expressar isso como um vetor unitário (de direção), normalizamos o vetor gradiente. Mas, como
já tem magnitude 1, a direção máxima é simplesmente
.
Passo 6
A taxa máxima de variação é dada pela magnitude do gradiente. Calculamos a magnitude de
:
Resposta
No ponto
, a taxa de variação de
é máxima na direção do vetor
e o valor dessa taxa máxima é
.
Exercícios relacionados
Calcule
Mostre que uma função diferenciável
decresce mais rapidamente na direção oposta a do vetor gradiente, ou seja, na direção de
.
Calcule
Determine a transformada de Laplace das seguintes funções: