Determine a transformada de Laplace das seguintes funções: g(t)=integral0^t e^-(t-tau) sin (tau) d tau

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Laplace da função . Basicamente, estamos lidando com transformadas de Laplace e integrais envolvendo funções exponenciais e senos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente como lidar com convoluções e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a função Lf(t) * h(t) = Lf(t) cdot Lh(t) é uma convolução de duas funções: e . Lembre-se que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de Laplace dessas funções. Matemáticamente, isso é:

Passo 3

Vamos identificar as duas funções que estão sendo convoluídas:
Agora, precisamos encontrar as transformadas de Laplace de e .

Passo 4

A transformada de Laplace de Le^-t = 1s + 1 é:
Isso vem da definição básica da transformada de Laplace, onde . Aqui, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace de Lsin(t) = 1s^2 + 1 :
Essa é uma fórmula padrão que geralmente se aprende nas tabelas de transformadas de Laplace.

Passo 6

Como Lg(t) = Lf(t) cdot Lh(t) = 1s + 1 cdot 1s^2 + 1 é a convolução de e , aplicamos a propriedade da convolução:

Passo 7

Agora, vamos multiplicar as frações:
Lg(t) = 1(s + 1)(s^2 + 1)
E essa é a transformada de Laplace da função .

Resposta

A transformada de Laplace de Lg(t) = 1(s + 1)(s^2 + 1) é:

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