Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Laplace da função . Basicamente, estamos lidando com transformadas de Laplace e integrais envolvendo funções exponenciais e senos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente como lidar com convoluções e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a função é uma convolução de duas funções: e . Lembre-se que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de Laplace dessas funções. Matemáticamente, isso é:
Passo 3
Vamos identificar as duas funções que estão sendo convoluídas:
Agora, precisamos encontrar as transformadas de Laplace de e .
Passo 4
A transformada de Laplace de é:
Isso vem da definição básica da transformada de Laplace, onde . Aqui, .
Passo 5
Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace de :
Essa é uma fórmula padrão que geralmente se aprende nas tabelas de transformadas de Laplace.
Passo 6
Como é a convolução de e , aplicamos a propriedade da convolução: