Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Laplace da função
. Basicamente, estamos lidando com transformadas de Laplace e integrais envolvendo funções exponenciais e senos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente como lidar com convoluções e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a função
é uma convolução de duas funções:
e
. Lembre-se que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de Laplace dessas funções. Matemáticamente, isso é:
Passo 3
Vamos identificar as duas funções que estão sendo convoluídas:
Agora, precisamos encontrar as transformadas de Laplace de
e
.
Passo 4
A transformada de Laplace de
é:
Isso vem da definição básica da transformada de Laplace, onde
. Aqui,
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace de
:
Essa é uma fórmula padrão que geralmente se aprende nas tabelas de transformadas de Laplace.
Passo 6
Como
é a convolução de
e
, aplicamos a propriedade da convolução:
Passo 7
Agora, vamos multiplicar as frações:
E essa é a transformada de Laplace da função
.
Resposta
A transformada de Laplace de
é: