Represente graficamente as soluções da equação: x^2 + y^2 + 10 x - 2 y - 23 = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na equação que temos: . O objetivo aqui é representar graficamente as soluções dessa equação, ou seja, traçar no gráfico todas as combinações de e que satisfazem essa equação. Para isso, vamos usar o conteúdo de geometria analítica, mais especificamente, a forma padrão da equação de uma circunferência. Vamos precisar completar o quadrado para reorganizar a equação nessa forma padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar os termos da equação agrupando os que envolvem e os que envolvem :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e de . Completar o quadrado ajuda a transformar a equação em uma forma que reconhecemos como a de uma circunferência.
Para o :
Pegamos o coeficiente de , que é 10, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 25 na equação:
Isso transforma em:
Para o :
Pegamos o coeficiente de , que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 1 na equação:
Isso transforma em:

Passo 4

Substituímos essas expressões completas de volta na equação original:
Agora, somamos os números constantes do lado esquerdo:
Isolamos os termos quadráticos:

Passo 5

Agora, a equação está na forma padrão da equação de uma circunferência:
Onde é o centro da circunferência e é o raio.
Comparando com a nossa equação:
Temos que:
  • Centro
  • Raio

Resposta

A circunferência tem centro em e raio igual a .

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