Seja uma elipse de semieixos 3 e 4 , situada no plano , cujo centro tem ordenada . Sendo , calcule os possíveis valores de
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O exercício nos dá uma elipse com semieixos de 3 e 4, que está no plano . O centro dessa elipse tem a coordenada . A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é . Para resolver isso, vamos usar o teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha a uma integral de superfície, e para isso precisamos achar a superfície limitada por e calcular o rotacional de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de , denotado por , nos dá uma medida de como o campo gira ao redor de cada ponto. Calculando isso para , temos:
Simplificando:
Passo 3
Agora que temos o rotacional, vamos aplicar o teorema de Stokes, que diz:
integralC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Aqui, é uma superfície limitada por , e é o vetor normal à superfície. Como está no plano , podemos escolher como a própria elipse no plano . Precisamos achar o vetor normal a esse plano.
Passo 4
O plano n = j - k|j - k| = j - kraiz1 + 1 = j - kraiz2 pode ser reescrito como . O vetor normal a esse plano é dado pelos coeficientes de e , ou seja, . Para usarmos no cálculo, precisamos normalizar esse vetor:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot n = (x i - y j) cdot ( j - kraiz2 ) = 0 - yraiz2 = -yraiz2 :
Passo 6
A integral de superfície agora fica:
integral duplaS -yraiz2 , dS = -1raiz2 integral duplaS y , dS
Precisamos calcular . Como é uma elipse com semieixos 3 e 4, a área da elipse é . O valor médio de sobre a elipse é simplesmente a coordenada do centro, que é .
Passo 7
Portanto:
integral duplaS y , dS = ycentro times área = raiz2 times 12pi = 12raiz2pi á