Seja C uma elipse de semieixos 3 e 4 , situada no plano y=z, cujo centro tem ordenada raiz2. Sendo F=y i+ x j+x y k, calcule os possíveis valores de integralC F cdot d r

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O exercício nos dá uma elipse com semieixos de 3 e 4, que está no plano . O centro dessa elipse tem a coordenada . A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é . Para resolver isso, vamos usar o teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha a uma integral de superfície, e para isso precisamos achar a superfície limitada por e calcular o rotacional de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z y & x & x y = ( partial (x y)partial y - partial xpartial z ) i - ( partial (x y)partial x - partial ypartial z ) j + ( partial xpartial x - partial ypartial y ) k , denotado por nabla times F = (x - 0) i - (y - 0) j + (1 - 1) k = x i - y j , nos dá uma medida de como o campo gira ao redor de cada ponto. Calculando isso para , temos:
Simplificando:

Passo 3

Agora que temos o rotacional, vamos aplicar o teorema de Stokes, que diz:
integralC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Aqui, é uma superfície limitada por , e é o vetor normal à superfície. Como está no plano , podemos escolher como a própria elipse no plano . Precisamos achar o vetor normal a esse plano.

Passo 4

O plano n = j - k|j - k| = j - kraiz1 + 1 = j - kraiz2 pode ser reescrito como . O vetor normal a esse plano é dado pelos coeficientes de e , ou seja, . Para usarmos no cálculo, precisamos normalizar esse vetor:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot n = (x i - y j) cdot ( j - kraiz2 ) = 0 - yraiz2 = -yraiz2 :

Passo 6

A integral de superfície agora fica:
integral duplaS -yraiz2 , dS = -1raiz2 integral duplaS y , dS
Precisamos calcular . Como é uma elipse com semieixos 3 e 4, a área da elipse é . O valor médio de sobre a elipse é simplesmente a coordenada do centro, que é .

Passo 7

Portanto:
integral duplaS y , dS = ycentro times área = raiz2 times 12pi = 12raiz2pi á
Substituindo de volta na integral:
- 1raiz2 times 12raiz2pi = -12pi

Resposta

O valor da integral é .

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