Calcule.
(a) integral 2^-raizx d x
(b) integral tg x+sen xsec x d x
© integral senh(ln x)x d x
(d) integral e^4 t(e^2 t-1)^3 d x
(e) integral x^3raizx^2+16 d x
(f) integral sen^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções exponenciais e substituição. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função dentro da integral. A expressão pode ser reescrita usando propriedades dos exponentes. Sabemos que , mas para facilitar a integração, é melhor mantê-la como potência de base 2.

Passo 3

Vamos aplicar a substituição. Vamos definir uma nova variável u = raizx que representa o expoente da função:
u = x^1/2
Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 12 x^-1/2 em relação a dx = 2 x^1/2 du = 2u , du para substituir na integral:
Isso implica que:

Passo 5

Substituindo integral 2^-u cdot 2u , du = 2 integral u cdot 2^-u , du e na integral original:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral integral u , dv = uv - integral v , du . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos:
  • (a variável)

Passo 7

Calculando du = du e v = integral 2^-u , du = 2^-uln 2 (-1) = -2^-uln 2 :

Passo 8

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u cdot 2^-u , du = u cdot (-2^-uln 2) - integral (-2^-uln 2) , du
= -u cdot 2^-uln 2 + 1ln 2 integral 2^-u , du
Já sabemos que = -u cdot 2^-uln 2 - 2^-u(ln 2)^2 + C , então:

Passo 9

Voltando à nossa substituição inicial = -raizx cdot 2^-raizxln 2 - 2^-raizx(ln 2)^2 + C :

Resposta

A integral -raizx cdot 2^-raizxln 2 - 2^-raizx(ln 2)^2 + C é igual a:

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