(EsPCEx - 2004) A soma dos quadrados de todas as raízes da equação
é igual a
a) 16 .
b) 20 .
c) 24 .
d) 28 .
e) 36 .
a) 16 .
b) 20 .
c) 24 .
d) 28 .
e) 36 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação quadrática que envolve valor absoluto:
. O conteúdo que vamos usar aqui é a resolução de equações quadráticas e o tratamento de valor absoluto. Precisamos encontrar todas as raízes dessa equação e depois somar o quadrado de cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lidar com o valor absoluto
. O valor absoluto pode ser positivo ou negativo dependendo de
. Então, vamos dividir a resolução em dois casos:
- Caso 1:
(ou seja, ) - Caso 2:
(ou seja, )
Passo 3
Caso 1:
Aqui,
. Substituindo na equação:
Simplificando:
Fatorando:
Então, as soluções são:
Como estamos no caso
, ambas as soluções são válidas aqui.
Passo 4
Caso 2:
Aqui,
. Substituindo na equação:
Simplificando:
Agora, resolvemos essa equação quadrática. Vamos usar a fórmula do discriminante:
Como Δ > 0, temos duas raízes reais:
Então:
Agora, verificamos se essas soluções satisfazem o caso
:
-
: Não, porque é igual a -2. -
: Sim, é menor que -2.
Então, apenas
é válida nesse caso.
Passo 5
Agora, juntando as soluções dos dois casos, temos:
- Do Caso 1:
e - Do Caso 2:
Mas observamos que
está no limite entre os dois casos. Verificando na equação original:
Então,
também é uma solução válida.
Portanto, as raízes são:
,
e
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a soma dos quadrados dessas raízes:
Resposta
A soma dos quadrados das raízes é igual a 20.
Exercícios relacionados
Calcule.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Fatore as expressōes:
(EsPCEx - 2003) O número de raízes reais distintas da equação
é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
(EsPCEx - 2001) Dada a equação
, a soma de todas as suas soluções é igual a
a) 3
b)
c) 2
d)
e)
a) 3
b)
c) 2
d)
e)