(EsPCEx - 2004) A soma dos quadrados de todas as raízes da equação é igual a
a) 16 .
b) 20 .
c) 24 .
d) 28 .
e) 36 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação quadrática que envolve valor absoluto: . O conteúdo que vamos usar aqui é a resolução de equações quadráticas e o tratamento de valor absoluto. Precisamos encontrar todas as raízes dessa equação e depois somar o quadrado de cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com o valor absoluto . O valor absoluto pode ser positivo ou negativo dependendo de . Então, vamos dividir a resolução em dois casos:
  1. Caso 1: (ou seja, )
  2. Caso 2: (ou seja, )

Passo 3

Caso 1:
Aqui, . Substituindo na equação:
Simplificando:
Fatorando:
Então, as soluções são:
Como estamos no caso , ambas as soluções são válidas aqui.

Passo 4

Caso 2:
Aqui, . Substituindo na equação:
Simplificando:
Agora, resolvemos essa equação quadrática. Vamos usar a fórmula do discriminante:
Como Δ > 0, temos duas raízes reais:
Então:
Agora, verificamos se essas soluções satisfazem o caso :
  • : Não, porque é igual a -2.
  • : Sim, é menor que -2.
Então, apenas é válida nesse caso.

Passo 5

Agora, juntando as soluções dos dois casos, temos:
  • Do Caso 1: e
  • Do Caso 2:
Mas observamos que está no limite entre os dois casos. Verificando na equação original:
Então, também é uma solução válida.
Portanto, as raízes são: , e .

Passo 6

Agora, vamos calcular a soma dos quadrados dessas raízes:

Resposta

A soma dos quadrados das raízes é igual a 20.

Exercícios relacionados

Calcule.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Fatore as expressōes:
(EsPCEx - 2003) O número de raízes reais distintas da equação é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
(EsPCEx - 2001) Dada a equação , a soma de todas as suas soluções é igual a
a) 3
b)
c) 2
d)
e)