Calcule as seguintes integrais por frações parciais.
(a) integral 12 x^2+21 x+3(x+1)(3 x^2+5 x-1) d x
(b) integral 2 x^2+x+1(x+1)(x^2+9) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular duas integrais usando frações parciais. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de frações parciais, que serve para quebrar frações racionais em partes mais simples para facilitar a integração. Vamos precisar fatorar os denominadores e encontrar constantes que vão ajudar na decomposição.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). A integral é:
integral 12 x^2+21 x+3(x+1)(3 x^2+5 x-1) , dx
Primeiro, precisamos decompor a fração em frações parciais. Ou seja, escrever:
12 x^2+21 x+3(x+1)(3x^2+5x-1) = Ax+1 + Bx + C3x^2+5x-1

Passo 3

Para encontrar os valores de 12x^2 + 21x + 3 = A(3x^2 + 5x - 1) + (Bx + C)(x + 1) , 12x^2 + 21x + 3 = A cdot 3x^2 + A cdot 5x - A + Bx cdot x + Bx cdot 1 + C cdot x + C cdot 1 e 12x^2 + 21x + 3 = (3A + B)x^2 + (5A + B + C)x + (-A + C) , multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo o lado direito:
Simplificando:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
3A + B = 12 5A + B + C = 21 -A + C = 3
Resolvendo esse sistema de equações:
Da terceira equação: 5A + B + (A + 3) = 21 implies 6A + B = 18
Substituindo na segunda equação:
3A + B = 12 6A + B = 18
Agora temos:
3A = 6 implies A = 2
Subtraindo a primeira da segunda:
Então, e .

Passo 5

Agora que temos 12 x^2+21 x+3(x+1)(3x^2+5x-1) = 2x+1 + 6x + 53x^2+5x-1 , e , podemos reescrever a fração original:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x+1 , dx + integral 6x + 53x^2+5x-1 , dx
A primeira integral é direta:
2 ln|x+1|
Para a segunda integral, notamos que o numerador ddx(3x^2 + 5x -1) = 6x + 5 é o derivado do denominador ln|3x^2 + 5x -1| , pois:
Portanto, a integral fica:

Resposta

A integral (a) é igual a:
2 ln|x+1| + ln|3x^2 + 5x -1| + C

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