Calcule as seguintes integrais por frações parciais.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular duas integrais usando frações parciais. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de frações parciais, que serve para quebrar frações racionais em partes mais simples para facilitar a integração. Vamos precisar fatorar os denominadores e encontrar constantes que vão ajudar na decomposição.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). A integral é:
Primeiro, precisamos decompor a fração em frações parciais. Ou seja, escrever:
Passo 3
Para encontrar os valores de , e , multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo o lado direito:
Simplificando:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da terceira equação: 5A + B + (A + 3) = 21 implies 6A + B = 18
Substituindo na segunda equação:
3A + B = 12 6A + B = 18
Agora temos:
3A = 6 implies A = 2
Subtraindo a primeira da segunda:
Então, e .
Passo 5
Agora que temos 12 x^2+21 x+3(x+1)(3x^2+5x-1) = 2x+1 + 6x + 53x^2+5x-1 , e , podemos reescrever a fração original:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x+1 , dx + integral 6x + 53x^2+5x-1 , dx
A primeira integral é direta:
2 ln|x+1|
Para a segunda integral, notamos que o numerador ddx(3x^2 + 5x -1) = 6x + 5 é o derivado do denominador ln|3x^2 + 5x -1| , pois: