Calcule integral raizxx^2-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está ligado ao cálculo integral, mais especificamente à técnica de substituição e à decomposição em frações parciais. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma troca de variável para simplificar a expressão e, em seguida, aplicar a decomposição em frações parciais para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir . Isso implica que e, derivando ambos os lados, temos .

Passo 3

Agora, substituímos integral raizxx^2-1 , dx = integral tt^4 - 1 cdot 2t , dt = 2 integral t^2t^4 - 1 , dt e na integral original:

Passo 4

Vamos simplificar o denominador t^4 - 1 = (t^2)^2 - 1 = (t^2 - 1)(t^2 + 1) . Sabemos que:
2 integral t^2(t^2 - 1)(t^2 + 1) , dt
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos decompor a fração t^2(t^2 - 1)(t^2 + 1) = At^2 - 1 + Bt^2 + 1 em frações parciais. Assumimos que:
t^2 = A(t^2 + 1) + B(t^2 - 1)
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 6

Distribuindo os termos e agrupando semelhantes:
t^2 = (A + B)t^2 + (A - B)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau:
A + B = 1 A - B = 0
Resolvendo esse sistema, encontramos que e .

Passo 7

Substituindo os valores de t^2(t^2 - 1)(t^2 + 1) = 1/2t^2 - 1 + 1/2t^2 + 1 e 2 integral ( 1/2t^2 - 1 + 1/2t^2 + 1 ) , dt = integral ( 1t^2 - 1 + 1t^2 + 1 ) , dt de volta na expressão das frações parciais:
Isso simplifica nossa integral para:

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Primeiro, a integral de integral 1t^2 - 1 , dt = 12 ln | t - 1t + 1 | + C :
integral 1t^2 + 1 , dt = arctan(t) + C
E a integral de :

Passo 9

Juntando as duas integrais, temos:
12 ln | t - 1t + 1 | + arctan(t) + C
Lembrando que 12 ln | raizx - 1raizx + 1 | + arctan(raizx) + C , substituímos de volta:

Resposta

A integral 12 ln | raizx - 1raizx + 1 | + arctan(raizx) + C é igual a:

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