Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está ligado ao cálculo integral, mais especificamente à técnica de substituição e à decomposição em frações parciais. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma troca de variável para simplificar a expressão e, em seguida, aplicar a decomposição em frações parciais para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir . Isso implica que e, derivando ambos os lados, temos .
Passo 3
Agora, substituímos e na integral original:
Passo 4
Vamos simplificar o denominador . Sabemos que:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 6
Distribuindo os termos e agrupando semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau:
Resolvendo esse sistema, encontramos que e .
Passo 7
Substituindo os valores de e de volta na expressão das frações parciais:
Isso simplifica nossa integral para:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Primeiro, a integral de :
E a integral de :
Passo 9
Juntando as duas integrais, temos:
12 ln | t - 1t + 1 | + arctan(t) + C
Lembrando que 12 ln | raizx - 1raizx + 1 | + arctan(raizx) + C , substituímos de volta:
Resposta
A integral 12 ln | raizx - 1raizx + 1 | + arctan(raizx) + C é igual a: