Calcule integral x^2-x+5x(x^2+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais racionais, onde usamos a técnica de frações parciais para simplificar a expressão antes de integrar. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que conseguimos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a fração x^2-x+5x(x^2+1) = Ax + Bx + Cx^2 + 1 em frações menores. A ideia é escrever essa expressão como a soma de termos mais simples:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por x^2 - x + 5 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x para eliminar os denominadores:
x^2 - x + 5 = A x^2 + A + B x^2 + C x
Agora, expandimos os termos do lado direito:

Passo 4

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
x^2 - x + 5 = (A + B)x^2 + Cx + A
Para que as duas expressões sejam iguais para todo A + B = 1 C = -1 A = 5 , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação, já sabemos que .
  2. Substituímos na primeira equação: , então .
  3. Já sabemos que .
Agora temos os valores de , e .

Passo 6

Substituindo x^2-x+5x(x^2+1) = 5x + -4x - 1x^2 + 1 , integral 5x , dx + integral -4xx^2 + 1 , dx + integral -1x^2 + 1 , dx e de volta na decomposição original:
Agora, podemos separar a integral em partes mais simples:

Passo 7

Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. -4 cdot 12 integral duu = -2 ln|u| = -2 ln(x^2 + 1)
    Aqui usamos a integral básica .
  2. Fazemos uma substituição , então ou . A integral fica:
  3. Usamos a integral básica .

Passo 8

Agora, juntamos todas as partes:
5 ln|x| - 2 ln(x^2 + 1) - arctan(x) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral 5 ln|x| - 2 ln(x^2 + 1) - arctan(x) + C é igual a:

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