Beleza, vamos calcular a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais racionais, onde usamos a técnica de frações parciais para simplificar a expressão antes de integrar. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que conseguimos integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a fração em frações menores. A ideia é escrever essa expressão como a soma de termos mais simples:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos os termos do lado direito:
Passo 4
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Para que as duas expressões sejam iguais para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, já sabemos que .
Substituímos na primeira equação: , então .
Já sabemos que .
Agora temos os valores de , e .
Passo 6
Substituindo x^2-x+5x(x^2+1) = 5x + -4x - 1x^2 + 1 , integral 5x , dx + integral -4xx^2 + 1 , dx + integral -1x^2 + 1 , dx e de volta na decomposição original:
Agora, podemos separar a integral em partes mais simples: