Calcule integral x^4 d xraizx^2-4

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Esse problema envolve cálculo integral, mais especificamente integrais que envolvem funções racionais e raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica ou uma substituição algébrica adequada para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão x^4raizx^2-4 = (x^2)^2raizx^2-4 . Podemos reescrever como , então temos:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2 . Assim, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Expressando x^2 = u + 4 em termos de :
Então, .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
integral x^4 , dxraizx^2-4 = integral (u + 4)^2 cdot du2xraizu
No entanto, percebemos que ainda temos na expressão. Vamos resolver isso em termos de .

Passo 6

Sabemos que integral (u + 4)^2 cdot du2raizu + 4raizu = 12 integral (u + 4)^2raizu cdot raizu + 4 , du , então . Logo, . Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, vamos simplificar (u + 4)^2raizu cdot raizu + 4 = (u + 4)^2raizu(u + 4) = (u + 4)^32 cdot u^-12 :

Passo 8

A integral fica então:
12 integral (u + 4)^32 cdot u^-12 , du = 12 integral (u + 4)^32 cdot u^-12 , du
Vamos expandir (u + 4)^32 = u^32 + 6u^12 + 12u^-12 + 8u^-32 :

Passo 9

Agora, multiplicamos por (u^32 + 6u^12 + 12u^-12 + 8u^-32) cdot u^-12 = u + 6 + 12u^-1 + 8u^-2 :

Passo 10

Integrando termo a termo:
12 integral (u + 6 + 12u + 8u^2) du = 12 (u^22 + 6u + 12 ln|u| - 8u) + C

Passo 11

Simplificando:
12 (u^22 + 6u + 12 ln|u| - 8u) = u^24 + 3u + 6 ln|u| - 4u + C

Passo 12

Lembrando que (x^2 - 4)^24 + 3(x^2 - 4) + 6 ln|x^2 - 4| - 4x^2 - 4 + C , substituímos de volta:

Resposta

integral x^4 , dxraizx^2-4 = (x^2 - 4)^24 + 3(x^2 - 4) + 6 ln|x^2 - 4| - 4x^2 - 4 + C

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