Dada f(x) = x - 2 sen(x), 0 < x < 3 pi, encontre: os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função no intervalo de a . Nosso objetivo é descobrir em quais partes desse intervalo a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que é uma ferramenta poderosa do cálculo para entender como uma função se comporta.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, se ela está subindo ou descendo naquele ponto específico.
A derivada de é e a derivada de é . Então, aplicando isso:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos analisar seu sinal para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • Se : A função está crescendo.
  • Se : A função está decrescendo.
Então, precisamos resolver as inequações:
  1. para encontrar onde está crescendo.
  2. para encontrar onde está decrescendo.

Passo 4

Vamos resolver cada inequação separadamente.
Para Crescer:
Para Decrescer:

Passo 5

Agora, precisamos identificar os valores de no intervalo que satisfazem essas condições.
Sabemos que acontece em e no primeiro ciclo de . Como nosso intervalo vai até , vamos considerar esses pontos e os ciclos repetidos.
Então, os intervalos ficam assim:
  • Crescente ( ):
    • De a
    • De a
  • Decrescente ( ):
    • De a
    • De a

Resposta

A função é crescente nos intervalos e , e decrescente nos intervalos e .

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