Dada f(x) = x - 2 sen(x), 0 < x < 3 pi, encontre: os valores máximos e mínimos de f;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos a função no intervalo de . Precisamos encontrar os valores máximos e mínimos dessa função. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente a derivada, que nos ajuda a identificar onde a função atinge seus pontos mais altos e mais baixos.

Passo 2

O próximo passo é calcular a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto e é essencial para encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é igual a zero ou não está definida. Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos.
Resolvendo :
Sabemos que ocorre quando e , onde é um inteiro.
Dentro do intervalo , os valores de que satisfazem essa equação são:

Passo 4

Com os pontos críticos encontrados, vamos avaliar a função nesses pontos, além dos extremos do intervalo, para determinar os valores máximos e mínimos.
Primeiro, calculamos nos extremos do intervalo:
Agora, calculamos nos pontos críticos:

Passo 5

Agora, vamos comparar todos os valores calculados para identificar qual é o máximo e qual é o mínimo:
Observamos que o valor mínimo ocorre em com e o valor máximo ocorre em com .

Resposta

Os valores mínimos e máximos de no intervalo são:
  • Mínimo:
  • Máximo:

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Dada f(x) = x - 2 sen(x), 0 < x < 3 pi, encontre: os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente;
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Encontre a primitiva mais geral da função.
f(x) = sen(x) / cos^2(x).