Calcule: integral sec ^2 tg^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral . Esse problema está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer as identidades trigonométricas e as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que sec^2 x = 1 + tan^2 x é igual a integral sec^2 x cdot tan^2 x , dx = integral (1 + tan^2 x) cdot tan^2 x , dx pela identidade trigonométrica. Então, podemos substituir:
Isso nos permite reescrever a integral da seguinte maneira:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar os termos dentro da integral:
(1 + tan^2 x) cdot tan^2 x = tan^2 x + tan^4 x
Então, a integral fica:
integral (tan^2 x + tan^4 x) , dx

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral tan^2 x , dx + integral tan^4 x , dx

Passo 5

Para integrar integral tan^2 x , dx = integral (sec^2 x - 1) , dx , lembramos que integral sec^2 x , dx - integral 1 , dx = tan x - x + C . Então:
Integrando termo a termo:

Passo 6

Agora, vamos integrar tan^4 x = (sec^2 x - 1)^2 = sec^4 x - 2sec^2 x + 1 . Podemos reescrever integral ( sec^4 x - 2sec^2 x + 1 ) dx como e usar a identidade :
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral sec^4 x , dx - 2integral sec^2 x , dx + integral 1 , dx
Sabemos que:
integral sec^2 x , dx = tan x + C
integral 1 , dx = x + C
Para integral sec^4 x , dx = tan x + tan^3 x3 + C , usamos a fórmula:
tan x + tan^3 x3 - 2tan x + x + C = -tan x + tan^3 x3 + x + C
Então, substituindo:

Resposta

A integral -tan x + tan^3 x3 + x + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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