Calcule: integral 4 tg^3 x d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício de calcular a integral . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver esse problema, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração, como substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão integral 4 tan^3 x , dx = 4 integral tan x cdot tan^2 x , dx = 4 integral tan x (sec^2 x - 1) , dx . Sabemos que . Portanto, podemos reescrever a integral:

Passo 3

Agora, vamos distribuir o 4 integral tan x cdot sec^2 x , dx - 4 integral tan x , dx dentro do parêntese:
Isso divide a integral original em duas partes mais simples que podemos resolver separadamente.

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral 4 integral u , du = 4 cdot u^22 = 2 u^2 . Para isso, usamos a substituição:
  • Seja 2 tan^2 x .
  • Então, a derivada de em relação a é , ou seja, .
Substituindo na integral:
Voltando para :

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral -4 integral tan x , dx = -4 (-ln |cos x|) = 4 ln |cos x| . Sabemos que a integral de é . Portanto:

Passo 6

Agora, juntamos os resultados das duas integrais:
2 tan^2 x + 4 ln |cos x| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule: integral sec ^2 tg^2 x d x
integral 10036+2 x^2 d x
integral d xx^2 raizx^2-1, x>1
integral cos ^5(2 x) d x