Calcule: integral sec ^3 x tg x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral . Esse exercício envolve cálculo integral, mais especificamente, integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a integral. Aqui, vamos deixar .
Por que escolher ? Porque a derivada de é , que já aparece na nossa integral. Isso vai simplificar tudo!

Passo 3

Agora, vamos encontrar a diferencial de dudx = sec x tan x . Se du = sec x tan x , dx , então:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 4

Observamos que na nossa integral original temos sec^3 x tan x , dx = sec^2 x cdot sec x tan x , dx = sec^2 x cdot du . Podemos reescrever isso usando integral u^2 , du :
E como , então . Assim, a integral fica:

Passo 5

Agora, é uma integral bem mais simples:
integral u^2 , du = u^33 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, voltamos para a variável original u^33 + C = sec^3 x3 + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

integral sec^3 x tan x , dx = sec^3 x3 + C

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