Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral
. Esse exercício envolve cálculo integral, mais especificamente, integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a integral. Aqui, vamos deixar
.
Por que escolher
? Porque a derivada de
é
, que já aparece na nossa integral. Isso vai simplificar tudo!
Passo 3
Agora, vamos encontrar a diferencial de
. Se
, então:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 4
Observamos que na nossa integral original temos
. Podemos reescrever isso usando
:
E como
, então
. Assim, a integral fica:
Passo 5
Agora, é uma integral bem mais simples:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, voltamos para a variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
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Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é a fronteira da região entre os círculos
e
Mostre que a função dada
é solução da respectiva equação diferencial dada. Depois, use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução
de tal modo que
e
formem um conjunto fundamental de soluções.
e. ,
,
e.
Calcule: