integral d xx^2 raizx^2-1, x>1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: , onde . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente, vamos usar substituição trigonométrica ou algébrica para facilitar a integração. Para isso, precisamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição que torne a integral mais simples. Vamos deixar . Isso significa que .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 12 cdot 2xraizx^2 - 1 = xraizx^2 - 1 em relação a dx = raizx^2 - 1x du para substituir na integral. Diferenciando ambos os lados:
Então, podemos resolver para :

Passo 4

Agora, vamos substituir integral dxx^2 raizx^2-1 = integral raizx^2 - 1x dux^2 raizx^2-1 = integral raizx^2 - 1x cdot 1x^2 raizx^2-1 du e = integral 1x^3 du na integral original:
Simplificando a expressão:

Passo 5

Mas sabemos que u^2 = x^2 - 1 implies x^2 = u^2 + 1 , então podemos expressar u = raizx^2 - 1 implies x = raizu^2 + 1 em termos de :
Então, . Mas precisamos expressar em termos de . Da nossa substituição inicial:

Passo 6

Agora, substituímos x^3 = raizu^2 + 1 cdot (u^2 + 1) na expressão integral 1raizu^2 + 1 cdot (u^2 + 1) du :
A integral fica então:
Essa expressão ainda é complicada, então vamos tentar outra substituição.

Passo 7

Vamos tentar uma substituição trigonométrica. Seja , então . Também, .

Passo 8

Substituindo na integral:
integral dxx^2 raizx^2-1 = integral sec theta tan theta dthetasec^2 theta tan theta = integral sec theta tan thetasec^2 theta tan theta dtheta = integral 1sec theta dtheta = integral cos theta dtheta

Passo 9

A integral de é . Agora, precisamos voltar para a variável original . Sabemos que , então . E .

Passo 10

Portanto, a integral resulta em:
sin theta + C = raizx^2 - 1x + C

Resposta

integral dxx^2 raizx^2-1 = raizx^2 - 1x + C

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