Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
, onde
. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente, vamos usar substituição trigonométrica ou algébrica para facilitar a integração. Para isso, precisamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição que torne a integral mais simples. Vamos deixar
. Isso significa que
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Diferenciando ambos os lados:
Então, podemos resolver para
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Mas sabemos que
, então podemos expressar
em termos de
:
Então,
. Mas precisamos expressar
em termos de
. Da nossa substituição inicial:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão
:
A integral fica então:
Essa expressão ainda é complicada, então vamos tentar outra substituição.
Passo 7
Vamos tentar uma substituição trigonométrica. Seja
, então
. Também,
.
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
A integral de
é
. Agora, precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que
, então . E
.
Passo 10
Portanto, a integral resulta em: