Calcule integral sec ^2 3 x tg 3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de . Isso pertence à matéria de Cálculo Integral, mais especificamente integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada “substituição”.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que pode ser substituída para simplificar a integral. Olha só, temos e . Sabemos que a derivada de em relação a é . Isso sugere que podemos fazer uma substituição onde .

Passo 3

Vamos definir:
u = tan(3x)
Agora, precisamos encontrar du = 3sec^2(3x) , dx , que é a derivada de dx = du3sec^2(3x) em relação a . A derivada de é , então:
Queremos expressar em termos de :

Passo 4

Agora, vamos substituir integral sec^2(3x) tan(3x) , dx = integral sec^2(3x) cdot u cdot du3sec^2(3x) e = integral u3 , du = 13 integral u , du na integral original:
Simplificando, as se cancelam:

Passo 5

Agora, vamos integrar 13 integral u , du = 13 cdot u^22 + C = u^26 + C :
Lembre-se que é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original substituindo u^26 + C = tan^2(3x)6 + C :

Resposta

A integral de tan^2(3x)6 + C é:

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