Calcule integral x raizx^2+3 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral de . Esse tipo de integral envolve técnicas de substituição na integração. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão que possa ser substituída por uma variável mais simples, facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição inteligente. Observamos que dentro da raiz quadrada temos u = x^2 + 3 . Vamos chamar isso de :
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir o diferencial .

Passo 3

Calculando a derivada de dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx :
x , dx = du2
Queremos expressar integral x raizx^2+3 , dx = integral raizu cdot du2 = 12 integral u^1/2 , du em termos de :
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Agora, vamos integrar 12 integral u^1/2 , du = 12 cdot u^3/23/2 = 13 u^3/2 :
13 (x^2 + 3)^3/2 + C
Finalmente, substituímos de volta por :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

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