Calcule integral sen xcos ^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integração por substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica que facilita a integração ao simplificar a expressão, chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o cálculo. Observamos que temos no numerador e no denominador. Sabemos que a derivada de é , então isso sugere uma boa escolha para substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição du = -sen x , dx Rightarrow -du = sen x , dx . Então, calculamos a derivada de integral sen xcos^4 x , dx = integral -duu^4 = -integral u^-4 , du em relação a :
Agora, substituímos na integral original:

Passo 4

Agora, vamos integrar -integral u^-4 , du = -( u^-3-3 ) + C = u^-33 + C em relação a u^-33 + C = 13 cos^3 x + C :
Substituindo de volta para :

Resposta

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