Calcule integral sen x(1-cos ^2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está lidando com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar substituição, que é uma técnica de integração onde a gente troca uma parte da integral por uma nova variável para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, observamos que u = cos x está dentro da integral e temos como fator. Isso sugere que podemos fazer uma substituição onde . Assim, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = -sen x , dx , que é a derivada de -sen x , dx = du ou sen x , dx = -du em relação a . Derivando ambos os lados:
Isso nos dá:

Passo 4

Vamos substituir na integral original usando integral sen x (1 - cos^2 x) dx = integral sen x (1 - u^2) dx e = integral (1 - u^2)(-du) = -integral (1 - u^2) du :
Substituindo por :

Passo 5

Agora, vamos distribuir o sinal negativo e integrar termo a termo:
- integral (1 - u^2) du = -integral 1 , du + integral u^2 , du
Integrando cada parte:
= -u + u^33 + C
onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, vamos voltar à variável original - cos x + (cos x)^33 + C substituindo :

Resposta

A integral é igual a:
- cos x + cos^3 x3 + C

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