Calcule a integral a seguir, colocando-a primeiro em coordenadas esféricas.
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 z(x^2+y^2) d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntando coordenadas esféricas. O enunciado pede para calcular:
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 z(x^2+y^2) dz, dy, dx
Aqui, estamos lidando com cálculo integral em coordenadas cartesianas, mas a mudança para coordenadas esféricas pode simplificar a resolução. Vamos precisar entender como converter as variáveis e os limites de integração para o sistema esférico.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por (rho, theta, phi), onde:
  • rho é a distância do ponto até a origem.
  • theta é o ângulo no plano xy a partir do eixo x.
  • phi é o ângulo a partir do eixo z.
As relações de conversão são:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = rho^2 sinphi, drho, dtheta, dphi

Passo 3

Vamos olhar para os limites de integração na integral original:
  • x varia de 0 a 3.
  • Para cada x, y varia de 0 a raiz9 - x^2.
  • Para cada (x, y), z varia de 0 a raiz9 - x^2 - y^2.
Isso descreve o oitante positivo de uma esfera de raio 3 centrada na origem. Então, em coordenadas esféricas, rho varia de 0 a 3, theta de 0 a pi2 (já que x e y são positivos), e phi de 0 a pi2 (já que z é positivo).

Passo 4

Agora, substituímos as variáveis na integral original para coordenadas esféricas:
A integral original é:
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 z(x^2+y^2) dz, dy, dx
Substituindo x, y, z e dV:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^3 (rho cosphi)((rho sinphi costheta)^2 + (rho sinphi sintheta)^2) rho^2 sinphi, drho, dtheta, dphi

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
Primeiro, calculamos x^2 + y^2:
x^2 + y^2 = (rho sinphi costheta)^2 + (rho sinphi sintheta)^2 = rho^2 sin^2phi (cos^2theta + sin^2theta) = rho^2 sin^2phi
Então, a integral fica:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^3 (rho cosphi)(rho^2 sin^2phi) rho^2 sinphi, drho, dtheta, dphi
Multiplicando os termos:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^3 rho^5 cosphi sin^3phi, drho, dtheta, dphi

Passo 6

Agora, podemos separar as integrais:
( integral0^3 rho^5 drho ) ( integral0^pi2 dtheta ) ( integral0^pi2 cosphi sin^3phi, dphi )
Calculando cada uma:
  1. Integral em rho:
integral0^3 rho^5 drho = [ rho^66 ]0^3 = 3^66 = 7296 = 121.5
  1. Integral em theta:
integral0^pi2 dtheta = pi2
  1. Integral em phi:
Fazemos a substituição u = sinphi, du = cosphi, dphi, então:
integral0^pi2 cosphi sin^3phi, dphi = integral0^1 u^3 du = [ u^44 ]0^1 = 14

Passo 7

Multiplicando os resultados das integrais:
121.5 times pi2 times 14 = 121.5 times pi8 = 121.5 pi8
Simplificando:
121.58 = 15.1875
Então, a resposta fica:
15.1875, pi

Resposta

A integral vale 15.1875, pi.

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