Calcule a integral a seguir, colocando-a primeiro em coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntando coordenadas esféricas. O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral em coordenadas cartesianas, mas a mudança para coordenadas esféricas pode simplificar a resolução. Vamos precisar entender como converter as variáveis e os limites de integração para o sistema esférico.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por , onde:
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo no plano a partir do eixo .
  • é o ângulo a partir do eixo .
As relações de conversão são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Vamos olhar para os limites de integração na integral original:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .
  • Para cada , varia de a .
Isso descreve o oitante positivo de uma esfera de raio centrada na origem. Então, em coordenadas esféricas, varia de a , de a (já que e são positivos), e de a (já que é positivo).

Passo 4

Agora, substituímos as variáveis na integral original para coordenadas esféricas:
A integral original é:
Substituindo , , e :

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
Primeiro, calculamos :
Então, a integral fica:
Multiplicando os termos:

Passo 6

Agora, podemos separar as integrais:
Calculando cada uma:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :
Fazemos a substituição , , então:

Passo 7

Multiplicando os resultados das integrais:
Simplificando:
Então, a resposta fica:

Resposta

A integral vale .

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