Calcule a integral a seguir, colocando-a primeiro em coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntando coordenadas esféricas. O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral em coordenadas cartesianas, mas a mudança para coordenadas esféricas pode simplificar a resolução. Vamos precisar entender como converter as variáveis e os limites de integração para o sistema esférico.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo no plano a partir do eixo . -
é o ângulo a partir do eixo .
As relações de conversão são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Vamos olhar para os limites de integração na integral original:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a . - Para cada
, varia de a .
Isso descreve o oitante positivo de uma esfera de raio
centrada na origem. Então, em coordenadas esféricas,
varia de
a
,
de
a
(já que
e
são positivos), e
de
a
(já que
é positivo).
Passo 4
Agora, substituímos as variáveis na integral original para coordenadas esféricas:
A integral original é:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da integral:
Primeiro, calculamos
:
Então, a integral fica:
Multiplicando os termos:
Passo 6
Agora, podemos separar as integrais:
Calculando cada uma:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Fazemos a substituição
,
, então:
Passo 7
Multiplicando os resultados das integrais:
Simplificando:
Então, a resposta fica:
Resposta
A integral vale
.
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e que tenha densidade
para todo ponto
.
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que se situa no primeiro octante, limitada pelos planos coordenados
, pelo plano
e pela esfera
.
Calcule o valor numérico do volume do sólido .
Calcule o valor numérico do volume do sólido
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.
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.