Seja a região sólida limitada entre as esferas de raios 1 e 3 , centradas na origem. Calcule a massa de um corpo que ocupe a região e que tenha densidade para todo ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma região sólida que está entre duas esferas com raios 1 e 3, todas centradas na origem. Nosso objetivo é calcular a massa desse corpo que ocupa a região e que tem uma densidade dada por , onde representa a distância do ponto à origem. Para resolver isso, vamos usar as coordenadas esféricas e integrar a densidade sobre o volume da região .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três coordenadas: (a distância até a origem), (o ângulo no plano horizontal) e (o ângulo em relação ao eixo vertical). A densidade significa que ela depende apenas da distância do ponto à origem.

Passo 3

Para calcular a massa, usamos a integral tripla da densidade sobre o volume . Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dado por:
Então, a massa é:
Simplificando a expressão da densidade:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver as integrais uma por uma. Primeiro, a integral em :
Next, a integral em :
Finalmente, a integral em :

Passo 5

Agora, multiplicamos os resultados das integrais:

Resposta

A massa do corpo é .

Exercícios relacionados

Seja a porção da bola que se situa no primeiro octante, limitada pelos planos coordenados , pelo plano e pela esfera .
Calcule o valor numérico do volume do sólido .
Seja a porção da bola que se situa acima do plano .
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla em coordenadas retangulares.
Calcule a integral a seguir, colocando-a primeiro em coordenadas esféricas.
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido O sólido limitado pelo cilindro pelos planos .