Seja
a região sólida limitada entre as esferas de raios 1 e 3 , centradas na origem. Calcule a massa de um corpo que ocupe a região
e que tenha densidade
para todo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma região sólida
que está entre duas esferas com raios 1 e 3, todas centradas na origem. Nosso objetivo é calcular a massa desse corpo que ocupa a região
e que tem uma densidade dada por
, onde
representa a distância do ponto
à origem. Para resolver isso, vamos usar as coordenadas esféricas e integrar a densidade sobre o volume da região
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que em coordenadas esféricas, qualquer ponto
no espaço é representado por três coordenadas:
(a distância até a origem),
(o ângulo no plano horizontal) e
(o ângulo em relação ao eixo vertical). A densidade
significa que ela depende apenas da distância
do ponto à origem.
Passo 3
Para calcular a massa, usamos a integral tripla da densidade sobre o volume
. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume
é dado por:
Então, a massa
é:
Simplificando a expressão da densidade:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver as integrais uma por uma. Primeiro, a integral em
:
Next, a integral em
:
Finalmente, a integral em
:
Passo 5
Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
Resposta
A massa do corpo é
.