Seja
a porção da bola
que se situa no primeiro octante, limitada pelos planos coordenados
, pelo plano
e pela esfera
.
Calcule o valor numérico do volume do sólido
.
Calcule o valor numérico do volume do sólido
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular o volume de uma parte específica de uma esfera, mais precisamente a parte que está no primeiro octante do espaço tridimensional. Para isso, vamos usar cálculo integral, especialmente integrais triplas em coordenadas esféricas. Precisamos entender como descrever a região limitada pelos planos coordenados, pelo plano
e pela esfera
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Estamos no primeiro octante, onde
. Além disso,
está limitada pelo plano
e pela superfície da esfera
. Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para trabalhar com esferas.
Passo 3
Nas coordenadas esféricas, temos:
Onde:
-
é a distância do ponto à origem, -
é o ângulo polar (medido a partir do eixo ), -
é o ângulo azimutal (medido no plano ).
O volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração:
-
varia de 0 a 2 (raio da esfera ), -
varia de 0 a porque estamos no primeiro octante, - Para
, o plano implica que .
Portanto, os limites são:
A integral para o volume fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Seja
a porção da bola
que se situa acima do plano
.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla em coordenadas retangulares.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido
Considere
.
Calcule usando o sistema de coordenadas que julgar mais conveniente.
Calcule
Seja
a região sólida limitada entre as esferas de raios 1 e 3 , centradas na origem. Calcule a massa de um corpo que ocupe a região
e que tenha densidade
para todo ponto
.
Calcule a integral a seguir, colocando-a primeiro em coordenadas esféricas.