Seja G a porção da bola x^2 + y^2 + z^2 <= 4 que se situa no primeiro octante, limitada pelos planos coordenados x y, y z, pelo plano y = x e pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4.
Calcule o valor numérico do volume do sólido G.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular o volume de uma parte específica de uma esfera, mais precisamente a parte que está no primeiro octante do espaço tridimensional. Para isso, vamos usar cálculo integral, especialmente integrais triplas em coordenadas esféricas. Precisamos entender como descrever a região limitada pelos planos coordenados, pelo plano e pela esfera .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Estamos no primeiro octante, onde . Além disso, está limitada pelo plano e pela superfície da esfera . Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para trabalhar com esferas.

Passo 3

Nas coordenadas esféricas, temos:
Onde:
  • é a distância do ponto à origem,
  • é o ângulo polar (medido a partir do eixo ),
  • é o ângulo azimutal (medido no plano ).
O volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração:
  • varia de 0 a 2 (raio da esfera ),
  • varia de 0 a porque estamos no primeiro octante,
  • Para , o plano implica que .
Portanto, os limites são:
A integral para o volume fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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