Use a integral tripla para determinar o volume do sólido O sólido limitado pelo cilindro pelos planos .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente usar uma integral tripla para encontrar o volume de um sólido específico. Esse sólido é limitado por um cilindro dado pela equação e por dois planos: e . Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo integral, especialmente integrais triplas em coordenadas cartesianas ou cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido. O cilindro é um cilindro circular de raio 2, com seu eixo ao longo do eixo z. Os planos que limitam o sólido são e . O plano é uma superfície vertical paralela ao eixo z, e é uma superfície inclinada.

Passo 3

Vamos definir os limites de integração. Como estamos lidando com um cilindro, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, , e . A equação do cilindro fica .

Passo 4

Determinar os limites para , e :
  • varia de 0 a 2 (raio do cilindro).
  • varia de a , que vamos encontrar com base nos planos .
  • varia de 0 até .

Passo 5

Vamos achar os limites para . O plano em coordenadas cilíndricas é . Isso significa que . Porém, como varia até 2, varia de a 1, então varia de a .

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla para o volume :
Aqui, é o fator que vem do jacobiano das coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos integrar em relação a primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule a integral a seguir, colocando-a primeiro em coordenadas esféricas.
Seja a região sólida limitada entre as esferas de raios 1 e 3 , centradas na origem. Calcule a massa de um corpo que ocupe a região e que tenha densidade para todo ponto .
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas Ache o volume do sólido situado acima do cone e interior a esfera .
Resolva os problemas de valor inicial: