Use a integral tripla para determinar o volume do sólido O sólido limitado pelo cilindro pelos planos .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente usar uma integral tripla para encontrar o volume de um sólido específico. Esse sólido é limitado por um cilindro dado pela equação e por dois planos: e . Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo integral, especialmente integrais triplas em coordenadas cartesianas ou cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. O cilindro é um cilindro circular de raio 2, com seu eixo ao longo do eixo z. Os planos que limitam o sólido são e . O plano é uma superfície vertical paralela ao eixo z, e é uma superfície inclinada.
Passo 3
Vamos definir os limites de integração. Como estamos lidando com um cilindro, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, , e . A equação do cilindro fica .
Passo 4
Determinar os limites para , e :
varia de 0 a 2 (raio do cilindro).
varia de a , que vamos encontrar com base nos planos .
varia de 0 até .
Passo 5
Vamos achar os limites para . O plano em coordenadas cilíndricas é . Isso significa que . Porém, como varia até 2, varia de a 1, então varia de a .
Passo 6
Agora, montamos a integral tripla para o volume :
Aqui, é o fator que vem do jacobiano das coordenadas cilíndricas.