Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas Ache o volume do sólido situado acima do cone
e interior a esfera
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular o volume de um sólido que está acima do cone
e dentro da esfera
. Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para esse tipo de problema envolvendo esferas e cones.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
-
: a distância do ponto à origem. -
: o ângulo no plano a partir do eixo . -
: o ângulo entre o vetor e o eixo .
As relações com as coordenadas cartesianas são:
Passo 3
Vamos converter as equações do cone e da esfera para coordenadas esféricas.
Para o cone
:
Então, o cone corresponde a
.
Para a esfera
:
Portanto, a esfera em coordenadas esféricas é
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para
,
e
.
-
varia de a (circumferência completa). -
varia de até , já que estamos acima do cone que corresponde a . -
varia de até , que é a equação da esfera.
Passo 5
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Então, a integral para o volume
fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral começando por
:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral:
Passo 8
Vamos resolver a integral em
. Fazendo uma substituição
, então
:
Aplicando os limites:
Passo 9
Substituindo de volta na integral principal:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido O sólido limitado pelo cilindro
pelos planos
.
Calcule a integral a seguir, colocando-a primeiro em coordenadas esféricas.
Resolva os problemas de valor inicial:
Vamos resolver ainda de outra maneira a equação linear de primeira ordem
.
Mostre que se é a função nula, então
.
Mostre que se