Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas Ache o volume do sólido situado acima do cone e interior a esfera .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular o volume de um sólido que está acima do cone e dentro da esfera . Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para esse tipo de problema envolvendo esferas e cones.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
  • : a distância do ponto à origem.
  • : o ângulo no plano a partir do eixo .
  • : o ângulo entre o vetor e o eixo .
As relações com as coordenadas cartesianas são:

Passo 3

Vamos converter as equações do cone e da esfera para coordenadas esféricas.
Para o cone :
Então, o cone corresponde a .
Para a esfera :
Portanto, a esfera em coordenadas esféricas é .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para , e .
  • varia de a (circumferência completa).
  • varia de até , já que estamos acima do cone que corresponde a .
  • varia de até , que é a equação da esfera.

Passo 5

O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Então, a integral para o volume fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral começando por :

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral:

Passo 8

Vamos resolver a integral em . Fazendo uma substituição , então :
Aplicando os limites:

Passo 9

Substituindo de volta na integral principal:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Use a integral tripla para determinar o volume do sólido O sólido limitado pelo cilindro pelos planos .
Calcule a integral a seguir, colocando-a primeiro em coordenadas esféricas.
Resolva os problemas de valor inicial:
Vamos resolver ainda de outra maneira a equação linear de primeira ordem .
Mostre que se é a função nula, então .