Calcule as seguintes integrais:
(b) integral 2 x^2-3 x-2x^3-2 x^2-x+2 d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de uma fração onde o numerador é e o denominador é . Isso está relacionado ao estudo de integrais de funções racionais, ou seja, funções que são o quociente de dois polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar a integral em partes mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 1^3 - 2(1)^2 - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0 . Procuramos raízes racionais possíveis, que são os valores de x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x - 1)(x^2 - x - 2) que fazem o denominador igual a zero. Testando x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) :
x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x - 1)(x - 2)(x + 1)
Então, é uma raiz. Agora, vamos dividir o polinômio pelo fator usando a divisão polinomial ou o método de fatoração:
Agora, fatoramos :
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração 2x^2 - 3x - 2(x - 1)(x - 2)(x + 1) = Ax - 1 + Bx - 2 + Cx + 1 em termos de frações parciais. Assumimos que podemos escrever:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 2x^2 - 3x - 2 = A(x - 2)(x + 1) + B(x - 1)(x + 1) + C(x - 1)(x - 2) para eliminar as frações:

Passo 5

Para encontrar 2(1)^2 - 3(1) - 2 = A(1 - 2)(1 + 1) + 0 + 0 2 - 3 - 2 = A(-1)(2) -3 = -2A A = 32 , e , escolhemos valores de que simplificam a equação. Primeiro, vamos escolher :

Passo 6

Agora, escolhemos 2(2)^2 - 3(2) - 2 = 0 + B(2 - 1)(2 + 1) + 0 8 - 6 - 2 = B(1)(3) 0 = 3B B = 0 :

Passo 7

Por último, escolhemos 2(-1)^2 - 3(-1) - 2 = 0 + 0 + C(-1 - 1)(-1 - 2) 2 + 3 - 2 = C(-2)(-3) 3 = 6C C = 12 :

Passo 8

Agora que encontramos 2x^2 - 3x - 2(x - 1)(x - 2)(x + 1) = 32x - 1 + 0x - 2 + 12x + 1 = 32(x - 1) + 12(x + 1) , e , substituímos de volta nas frações parciais:

Passo 9

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 32(x - 1) dx + integral 12(x + 1) dx
Sabendo que 32 ln|x - 1| + 12 ln|x + 1| + C , temos:

Resposta

integral 2x^2 - 3x - 2x^3 - 2x^2 - x + 2 dx = 32 ln|x - 1| + 12 ln|x + 1| + C

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