Calcule as seguintes integrais:
(b)

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de uma fração onde o numerador é e o denominador é . Isso está relacionado ao estudo de integrais de funções racionais, ou seja, funções que são o quociente de dois polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar a integral em partes mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Procuramos raízes racionais possíveis, que são os valores de que fazem o denominador igual a zero. Testando :
Então, é uma raiz. Agora, vamos dividir o polinômio pelo fator usando a divisão polinomial ou o método de fatoração:
Agora, fatoramos :
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração em termos de frações parciais. Assumimos que podemos escrever:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 5

Para encontrar , e , escolhemos valores de que simplificam a equação. Primeiro, vamos escolher :

Passo 6

Agora, escolhemos :

Passo 7

Por último, escolhemos :

Passo 8

Agora que encontramos , e , substituímos de volta nas frações parciais:

Passo 9

Agora, integramos cada termo separadamente:
Sabendo que , temos:

Resposta

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Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo. Justifique sua resposta. (valor:
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(b) .
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo. Justifique sua resposta. (valor:
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(a) Se e são duas funções deriváveis tais que para todo , então podemos concluir que para todo .
Calcule a integral a seguir: (valor: 1,0 ponto)
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo. Justifique sua resposta. (valor:
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(d) Se , então e .