Calcule as seguintes integrais:
(b)
(b)
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral de uma fração onde o numerador é
e o denominador é
. Isso está relacionado ao estudo de integrais de funções racionais, ou seja, funções que são o quociente de dois polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar a integral em partes mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Procuramos raízes racionais possíveis, que são os valores de
que fazem o denominador igual a zero. Testando
:
Então,
é uma raiz. Agora, vamos dividir o polinômio pelo fator
usando a divisão polinomial ou o método de fatoração:
Agora, fatoramos
:
Então, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora, vamos escrever a fração
em termos de frações parciais. Assumimos que podemos escrever:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 5
Para encontrar
,
e
, escolhemos valores de
que simplificam a equação. Primeiro, vamos escolher
:
Passo 6
Agora, escolhemos
:
Passo 7
Por último, escolhemos
:
Passo 8
Agora que encontramos
,
e
, substituímos de volta nas frações parciais:
Passo 9
Agora, integramos cada termo separadamente:
Sabendo que
, temos:
Resposta
Exercícios relacionados
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo. Justifique sua resposta. (valor:
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(b) .
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(b)
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo. Justifique sua resposta. (valor:
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(a) Se e
são duas funções deriváveis tais que
para todo
, então podemos concluir que
para todo
.
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(a) Se
Calcule a integral a seguir: (valor: 1,0 ponto)
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo. Justifique sua resposta. (valor:
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(d) Se , então
e
.
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(d) Se